Le lieu de l'orthocentre

pappus

Mon cher j_j

Serait-ce trop te demander de décomposer en produit de deux cercles l'équation de cette satanée quartique?

Amitiés

pappus

S0_

Soit $F,C$ deux points distincts du plan et $k$ un nombre réel non nul.
Soit $f$ l'application du plan privé $F$ dans le plan privé de $C$ qui à tout point $M$ associé le point $M'$ tel que $(FM)||(CM')$ et $\overline{FM}$×$\overline{CM'}$=$k$.
  
-$f$ est une transformation

-$f$ admet deux points invariant lorsque $k+(1/4)FC^2>0$
-$f$ laisse invariant le milieu de $FC$ si $k+(1/4)FC^2=0$
-le cercle de rayon $\sqrt{k+(1/4)FC^2}$ est globalement invariant par $f$ et $(FM)$ perpendiculaire à $(MM')$ avec $k+(1/4)FC^2>0$
-de même pour tout cercle il existe une telle application qui le laisse globalement invariant

Je pense avoir donné quelques propriétés qui me permettront de poursuivre la démonstration.. 

Cordialement

john_john

Je trouve que les cercles ont pour équation $X^2+Y^2\pm\alpha Y=1$, où $\alpha=2\sqrt\frac{a^2}{1-a^2}$, où $a$ est l'abscisse de $F$ dans la droite $(UV)$ (peu importe son orientation).

En revanche, que se passe-t-il si $|a|>1$ ? Cabri voit-il toujours une décomposition ?

pappus

Merci j_j de m'avoir signalé cette difficulté.

J'ai refait ma figure dans le cas où $F$ est à l'extérieur du segment $UV$.

Le lieu des foyers se transforme singulièrement.

Quant à la quartique décomposée, elle s'est fait la malle quelque part dans le complexifié de l'espace des cercles.

Amitiés.

pappus

PS

Si on avait donné ce problème de SO_ aux taupins de $1923$, ils auraient bien mérité de devenir des pipos ou carvas.

Ceux d'aujourd'hui en fait de géométrie ne peuvent que balbutier ou ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore.

La seule conique qu'ils connaissent est le $DCT$.

Par contre ils sont incollables en Algèbre, en Algèbre Linéaire et Bilinéaire et notamment dans la théorie des formes quadratiques et en définitive, ce n'est pas si mal!