Conjecture sur le maximum global d'une simple fonction

Saturne

Bonjour,

En testant aves plusieurs valeurs de $a$ sur Wolfram Alpha, j'en suis venu à la conjecture suivante. On a $a \in ]-1, 1[$ et la fonction $$f(x) = \dfrac{\cos x} {1 - a \sin x}.$$ Alors je dis que la valeur maximale de $f(x)$ est $\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}$. Sauriez-vous le prouver?

Médiat_Suprème

Le calcul de la dérivée ne pose aucun problème

Saturne

Et alors ? Le calcul de la dérivée je l'ai fait et il ne m'a pas aidé (pas évident de trouver la racine). D'ailleurs je l'ai fait avec Wolfram et il délire, il sort des trucs comme $\textrm{asin}(2)$ comme racine...

En outre si tu as la valeur de $x$ qui atteint le max (WA la donne), il n'est pas évident de trouver cette expression du max en la substituant.

Médiat_Suprème

Ah bon ! C'est pourtant enfantin.

gerard0

Bonjour
C'est un des cas où le calcul formel se révèle moins efficace que nous : ne voyant pas directement que $\sin^2 x +\cos^2 x=1$, il rate le fait que le maximum se fait en un x vérifiant $\sin x = a$, ce qui suffit à répondre.
Cordialement.

Saturne

Non, quand on fait la dérivée on trouve un $\sin(x) - 1/a$, et Wolfram donne $\textrm{asin}(1/a)$, qui n'existe pas.

Saturne

Voilà le bon $x$ qui atteint le max, pour $a = 0.7$ :
$$x = 2 \textrm{atan}(10/7 - \sqrt{51}/7) + 2 \pi n.$$

Saturne

Mince, tu as raison @gerard0, j'ai vérifié et cette expression de $x$ est identique à $\textrm{asin}(0.7)$ !

Saturne

Ok ,je m'étais planté en recopiant la dérivée donnée par WA, désolé.

AlainLyon

En multipliant le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par $1+a\times \sin(x)$ !