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Inégalité à montrer

Modifié (October 2023) dans Arithmétique
Bonsoir quelqu'un a-t-il une idée de comment prouver : $ a_i, b_j\geq 0$
$$\sum\min(a_i,a_j)\sum\min(b_i,b_j)\geq \Big(\sum_{i,j=1}^n\min(a_i,b_j)\Big)^2.$$
Mots clés:

Réponses

  • Cette inégalité me semble poser un problème d'homogénéité. D'où vient cet énoncé ?
  • Cela fait penser à une inégalité de Cauchy-Schwarz. Vois-tu comment définir un produit scalaire qui conviendrait ?
  • Modifié (October 2023)
    On a : $$\sum_{i=1,j=1}^n\min(a_i,a_j)=\sum_{k=1}^{\max(a_1,a_2,...a_n)}card(i=1,2,...n:a_i\geq k)^2=\sum_{k=1}^{\max(a_1,a_2,...a_n)+\max(b_1,b_2,...b_n)}card(i=1,2,...n:a_i\geq k)^2$$ 
    $$ \sum_{i=1,j=1}^n\min(a_i,b_j)=\sum_{k=1}^{\max(a_1,a_2,...a_n)+\max(b_1,b_2,...b_n)}card(i=1,2,...n:a_i\geq k)card(j=1,2,...n:b_j\geq k)$$
    et c'est gagné

  • Modifié (October 2023)
    j'ai vu
  • Ça a l'air plutôt trivial. On a $(\sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j))^2 = \sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j)) \sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j)$. En utilisant $\min(a_i,a_j,b_i,b_j) = \min(\min(a_i,a_j), \min(b_i,b_j))$, on obtient l'inégalité.
  • Modifié (October 2023)
    Bibix
    Comment tu arrives à la conclusion ?
  • Modifié (October 2023)
    Ben tout est positif donc $\sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j) \sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j) \leq \sum \min(a_i,a_j) \sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j) \leq \sum \min(a_i,a_j) \sum \min(b_i,b_j)$.
  • Modifié (October 2023)
    Bibix
     je ne vois pas le lien entre $\sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j) \sum \min(a_i,a_j,b_i,b_j) $ et $(\sum \min(a_i,b_j))^2$ 
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Pour $i$ et $j$ donnés, $\min(a_i,a_j,b_i,b_j)\le\min(a_i,b_j)$.
  • Modifié (October 2023)
    Math Coss
    Exactement donc difficile de conclure  mais j'ai une preuve.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Effectivement, je ne sais pas pourquoi, j'avais lu $\min(a_i,a_j,b_i,b_j)$ à la place de $\min(a_i,b_j)$, toutes mes excuses. Je pense aussi savoir comment prouver l'inégalité pour $\min(a_i,b_j)$.
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