Résolution des équations de la forme $x^5 = ax^4 + bx - ab$

Emphyrio

Dans le cas générale, les équations du 5ème dégré ne sont pas solubles à l'aide de formules mathématiques académiques qui seraient similaires à celles que l'on connait pour les équations du troisième ou du second degré.

On peut cependant montrer que $x^5 = ax^4 + bx - ab\ $ et $\ x^3  = ax^2 + (b^1/2)x - a(b^1/2)$ admettent des racines communes.
Ainsi, connaissant ces racines communes grâce à la résolution formelle de $x^3  = ax^2 + (b^1/2)x - a(b^1/2)$, il est facile de déduire les autres racines de $x^5 = ax^4 + bx - ab$ qu'elles soient complexes ou réelles.
Emphyrio.

Bibix

En même temps, ce n'est pas très surprenant vu que $x^5 = a x^4+b x - a b \Longleftrightarrow (x-a)(x^4-b) = 0$.

Emphyrio

Effectivement c'est assez trivial autant effacer le fil

JLapin

On peut le déplacer en algèbre mais je trouve qu'il a le mérite de montrer que certaines équations de degré 5 sont résolubles...

Emphyrio

Si cela t'intéresse JLapin voici une nouvelle famille avec des solutions moins triviales que l'on peut facilement résoudre
$x^5 = ax^2 + bx + ab^1/2$  et  $x^3 = (b^1/2)x + a$  ont trois racines communes  
Ou sous une forme plus lisible :  $x^5 = ax^2 + (b^2)x + ab$   et   $x^3 = bx + a$.
[Tu encadres les expressions mathématiques par des $\$$.  AD]