Autour du Nullstellensatz

Kolakoski
Modifié (October 2023) dans Algèbre
Bonjour à toutes et à tous
Dans le cadre de mon travail, je m'intéresse au lieu d'annulation \(\mathcal{S}\subset\mathbb{C}^2\) d'un polynôme \(\gamma\in\mathbb C[X,Y]\). J'ai cru comprendre par mes lectures que si un second polynôme \(P\) s'annulait sur \(\mathcal{S}\), alors il existerait un entier \(p\) et un polynôme \(R\) tel que \(P^p=R\gamma\). Ce serait une conséquence du Nullstellensatz d'Hilbert. Ma question concerne \(p\). Quelle condition dois-je trouver sur \(\gamma\) pour que \(p=1\) et que \(R\) ne s'annule pas sur \(\mathcal{S}\) tout entier ?
En vous remerciant,
K

Réponses

  • Bonsoir

    Notons $V(\gamma)$ le lieu des zéros de $\gamma$. D'après le Nullstellensatz, $I(V(\gamma))=\sqrt{(\gamma)}$, où $(\gamma)$ désigne l'idéal principal engendré par $\gamma$ dans $\mathbb{C}[X,Y]$ et $\sqrt{(\gamma)}=\{P\in \mathbb{C}[X,Y], \exists p\in \mathbb{N}^{*}, P^p\in (\gamma) \}$ est le radical de cet idéal.

    Tu souhaites que $\sqrt{(\gamma)}=(\gamma)$. Une CNS pour avoir cette égalité est que ton polynôme $\gamma$ soit « sans facteur carré » (chaque facteur de la décomposition en irréductibles dans l'anneau $\mathbb{C}[X,Y]$ apparaît au plus une fois).

    Si tu fixes $P\in (\gamma)$, la deuxième condition peut se traduire par $P\notin (\gamma^2)$.
  • Super merci, je vais creuser ça !
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