Les suites A139317 & A132948

Ludwig
Modifié (September 2023) dans Arithmétique
Bonsoir,
Le terme général a(n) de A139317 est le plus entier de la forme n*k + 1 qui est premier avec tous les termes précédents de la suite. Celui de A132948 est le plus petit entier b(n) qui divise p(n) - 1 et qui est différent de tous les termes précédents de la suite (p(n) est le n-ième nombre premier). Est-il vrai que a(b(n))=p(n) ? Je l'ai conjecturé sur le site OEIS.
De la même façon on pose c = A139319 et d = A132988. L'égalité c(d(n)) = p(n) semble vérifiée dès que n est plus grand que 15.

Réponses

  • Ludwig
    Modifié (October 2023)
    Un programme montre que la seconde égalité est fausse pour n = 1 2 3 4 5 9 15 20 41 43 57 76 83 150 164 228 256 346 444... Suite qui n'est pas référencée. Par contre on peut relier deux entiers de cette suite, par exemple : c(d(256)) = c(162) = 971 et 971 = p(164).

  • Bibix
    Modifié (October 2023)
    Cette conjecture est équivalente à celle qui dit que les $b(n)$ forment une permutation des nombres entiers naturels, on peut le démontrer par récurrence forte. 
    D'abord, on démontre la propriété $$\forall i,n \in \mathbb{N}^*, \forall k > n, (b(n) > b(k)) \Longrightarrow (b(k) i + 1 \neq p(n)). (*)$$
    Démonstration : Démontrons-le par l'absurde. Si c'était faux, on aurait $i,j \in \mathbb{N}^*$ et $k > n$ tels que $b(n) > b(k)$ et  $b(k) i = p(n)-1 = b(n) j (**)$ par construction de $b(n)$. Or toujours par construction, $b(n)$ est sensé être le plus petit diviseur de $p(n)-1$ différent de $b(m)$ pour tout $m < n$ ce qui donne naturellement $b(n) < b(k)$ avec $(**)$ -> contradiction.

    On suppose maintenant que les $b(n)$ forment une permutation des nombres entiers naturels.

    On a $a(b(1)) = p(1)$, supposons que $a(b(k)) = p(k)$ pour tout $k \leq n$. Soit $i < b(n+1)$, on a par hypothèse $i = b(k)$ pour un certain $k \in \mathbb{N}^*$. Si $k \leq n$, alors $a(i) = a(b(k)) = p(k) \neq p(n+1)$. Si  $k > n+1$, alors $b(n+1) > b(k)$ donc $a(i)=a(b(k)) = b(k) d + 1 \neq p(n+1)$ pour un certain $d \in \mathbb{N}^*$ d'après $(*)$. Dans tous les cas, nous avons montré que $a(i) \neq p(n+1)$ or $a(b(n+1)) = b(n+1) j + 1$ avec $j \in \mathbb{N}^*$ et par construction, $a(b(n+1))$ est le plus petit entier premier avec tous les termes précédents (et avec $p(k)$ pour $k \leq n$ car sinon, on aurait $\gcd(a(b(k)), a(b(n+1))) = p(k) > 1$). On a donc $a(b(n+1)) = p(n+1)$ (car $b(n+1)$ est diviseur de $p(n+1)-1$).

    Edit : Je n'ai pas mentionné la réciproque car c'est évident. Si $a(b(n)) = p(n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, alors en supposant l'existence de $i \notin \{b(k) \mid k \in \mathbb{N}^*\}$, on a $a(i)$ qui est par définition premier avec tous les $a(b(n)) = p(n)$ donc premier avec tous les nombres premiers et donc $i = 1$ mais on a aussi $b(1) = 1$ -> contradiction.
  • Ludwig
    Modifié (October 2023)
    D'accord ! Merci Bibix. Il m'a fallu près d'une heure pour décortiquer ta preuve.. :smile:
    La suite $d = A132988$ est également une permutation des entiers naturels. Alors pourquoi l'égalité $c(d(n))= p(n)$ n'est-elle pas toujours vraie ?
  • À mon avis, c'est l'initialisation qui foire pour $c(d(n)) = p(n)$.
  • Je vois que tu es en train de modifier l'OEIS pour $b(n)$. Quitte à le faire, tu pourrais aussi modifier la page de $a(n)$ car ça montre directement la conjecture principale qui dit que les $a(n)$ forment une permutation des nombres premiers.
  • Fait ! Voir le brouillon de la page ici.
  • Ta démonstration Bibix a été validée par le site OEIS et la propriété est désormais en ligne.
  • Propriété pour la suite A139317 validée. Le site renvoie sur ce fil pour les preuves.
  • En relisant la preuve, j'ai soudainement l'impression qu'il manque quelque-chose pour conclure. Bon après, je suis malade et extrêmement fatigué, j'ai peut-être oublié un truc important.
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