RMS, énoncés d'avant 1994

jean-éric

Bonjour,
Les énoncés de l'année 70-71 de la RMS, faute de forum je me suis occupé...
Jean-éric

Piteux_gore

Bonjour,
C'était l'époque du RP Cubillo, dont à propos duquel on ne sait pas grand chose.
Je subodore qu'en plus de ses connaissances scientifiques, il devait connaître le latin, le grec, l'hébreu, le copte et l'araméen.
A+

john_john

Pour ce qui est de la difficulté de ces exercices, on ne peut les lire à l'aune des programmes actuels ; il n'y a que les exos d'Algèbre linéaire qui soient réellement plus simples (à l'époque, la notion de polynôme annulateur n'était vue qu'en TD, mais ne figurait pas, me semble-t-il, dans le programme officiel). D'ailleurs, même les manuels étaient critiquables dans ce domaine, car l'importance du corps de base n'était pas la préoccupation première -- on a même vu définir la trace comme la somme des valeurs propres  --.
En Calcul intégral : pas de cv dominée, il fallait majorer avec plusieurs $\varepsilon$. La cv uniforme n'était au programme qu'en A', ce qui excluait Centrale, les Mines et les ENSI (programme A). En outre, il fallait connaître toute un famille de méthodes de calcul de primitives et cela pouvait passer par le paramétrage de coniques ou de courbes rationnelles. Et en dessert : intégrales multiples, intégrales de surface, Green-Riemann, Stokes, Ostrogradski.
Pour couronner le tout, un copieux programme de Géométrie, incluant la Géométrie différentielle (tracés de courbes, y compris données implicitement, propriétés euclidiennes d'icelles, enveloppes de courbes, trajectoires sous l'angle $\alpha$, équations intrinsèques, cinématique du point ou du solide, torseurs, en veux-tu, en voilà...)

En résumé, on a acquis en abstraction ce que l'on a perdu en méthode, mais graduellement, avec de nouveaux programmes tous les dix ans.

john_john

... et nous avons perdu en route le fameux RP Cubillo, de Ceuta puis de Madrid, si tant est qu'il ne fût pas un canular de normalien (?)

[Utilisateur supprimé]

john_john a dit :

on a même vu définir la trace comme la somme des valeurs propres 

Je vais sans doute passer pour un hérétique un peu bêta mais… je me demande réellement : était-ce si grave à ce niveau d'étude ?

john_john

Non, bien sûr, il y a plus grave, mais, avec cette définition, va montrer que la trace est une forme linéaire et qu'elle est centrale. En outre, un pont aux ânes classique consistait à demander s'il existe des matrices carrées $A$ et $B$ de même format telles que $AB-BA={\rm Id}$. C'est heureusement passé de mode mais, à l'époque, cela pouvait occuper le taupin un bout de temps.

Piteux_gore

Bonjour,
Que signifie exactement la dernière question de l'exercice 16884 ?
A+

john_john

Ah oui, c'est bizarre ?? Comme $M_1$ et $M_2$ sont les matrices des deux projecteurs associés à une somme directe, je suppose que l'on doit montrer que la première est semblable à ${\rm Diag}(1,0,0)$.

Piteux_gore

RE
Pour le 16898 on trouve $S = -5/17$, mais y a-t-il une méthode plus élégante que
-- décomposer $f(z)$ en éléments simples
-- déterminer les équations aux carrés, aux inverses, etc.
A+

john_john

Puisque le dénominateur de la fraction rationnelle est polynomial de degré $4$, je l'aurais remplacé par le reste de sa division par $X^3-3X+1$, ce afin d'en abaisser l'ordre (sauf si, toutefois, ce reste est polynomial de degré $2$ avec des zéros compliqués, auquel cas il faut sans doute se résoudre à la méthode de Piteux_Gore, de toute façon pas trop pénible).

Remarque : à l'époque, on n'avait pas peur des calculs

jean-éric

Bonsoir,

16884 : Caractériser dans un même repère l'application linéaire dont la matrice est $M_1$. (J'ai oublié le mot même..., ce qui change quoi???)

Bientôt sans doute, 82-83 puis 89-90, plus proches de nous.

Jean-éric

john_john

Ce que ça change ? Je comprends encore moins ce que signifie dans un même repère. Peut-être veut-on caractériser les deux matrices ??

JLT

En lisant rapidement :

16891: manque parenthèse
16910 : on ne voit pas tout l'énoncé
16911 : j'imagine que le deuxième $u_n$ soit être $\alpha_n$.
19742 : est-ce vraiment l'énoncé ? Ca paraît trop trivial.
19750 : qu'est-ce que que GR ?
19763 : il y a une virgule et un d en trop.

P.S. Qui est RP Cubillo ? Un contributeur de la RMS ?

jean-éric

Bonjour, 
Merci pour les retours. Je mets cela à jour ainsi que le fichier dans la journée.

&JLT En pièce jointe une contribution de RP Cubillo.

Jean-éric

john_john

Bonjour, JLT,
le 19742 est effectivement simple, mais cela ne m'étonne qu'à moitié ! À l'époque, il existait deux barres d'admissibilité à l'X et les candidats dont le total à l'écrit se trouvait entre les deux passaient un petit oral couperet, au terme duquel ils pouvaient être qualifiés pour l'oral définitif, dit grand oral. Ce petit oral n'était pas forcément difficile car, à mon avis, il ne visait qu'à éliminer les candidats sous-admissibles grâce au dessin industriel et non pas aux maths. Ce petit oral a évolué par la suite au point de ne plus éliminer que 25% des sous-admissibles et, de ce fait, a été supprimé vers 1990.

Au reste, le 19749 n'est pas bien méchant non plus

jandri

Pour le 19742 (bas page 19) c'est $u_1+u_2+\dots+nu_n$ au numérateur.

C'est d'ailleurs presque le même que le 19767 (bas page 21) qui a aussi une erreur : c'est $n^2$ au dénominateur et pas $n^n$.

Pour le 16909 (bas page 15) je pense que c'est $n^{n+1/2}$ au dénominateur et pas $n+1/2$.

Juste à côté pour le 16917 il faut supposer $\theta<\pi/2$.

JLT

C'est vrai j'avais oublié l'existence du POX (ça existait encore quand j'ai passé le concours).

jean-éric

@jandri Le texte original (l'image ne passe pas de chez moi) est bien $n+\frac12$. Je rectifie quand même, merci, c'est lié à la formule de Stirling je pense.  Idem pour le 19767, le texte est écrit avec $n^n$. Je rectifie aussi cependant.

Je suis responsable de la plupart des erreurs de transcriptions, mais parfois c'est le texte original qui comporte une coquille.

Mise à jour des énoncés.

jandri

En le parcourant à nouveau j'ai trouvé d'autres coquilles.

p14 : 16887  c'est -3xy' et pas -+xy'

p16 : 16924 et 16925 sont des doublons

p17 : 16859 en A et B

p19 : 19734 étudier la convergence
je ne vois pas l'intérêt de mettre à part le cas x=0

19740 a) $g_{i,j}=v_i.v_j$
b) en fonction des $g_{i,j}$

19744 soit k un entier naturel donné

19746 c'est $(n + 1)^{1+1/(n+1)}-n^{1+1/n}$

(je l'ai compris quand j'ai vu que les 19767 à 19772 sont les mêmes que les 19742 à 19747)

p22 : 19714 une courbe puis ch (et pas Ch)

19719 accélération

jean-éric

Merci Jandri, je fais cela d'ici quelques jours. C'est pas simple car à l'époque les textes d'exercices figuraient dans les RMS de 3 à 10 (il y avait 12 numéros) avec un découpage dans chaque rms. Peu à peu il y a eu un rassemblement, dans les années 80 les textes des exercice sont dans les RMS 5,6,7 et regroupés. 

john_john

16961 : il y a sûrement lieu de diviser le déterminant par un ${\rm o}(1)$.

jandri

Pour le 16961 je trouve que la limite de$\dfrac1{h^4}$ fois le déterminant est égale à $f'(x)f^{(3)}(x)-(f''(x))^2$.

Piteux_gore

RE
Pour le 16898, il suffit de transformer l'équation par les transformations $y = 1/(x^2+1)$ et $y=1/(x+1)^2$ ; on calcule la somme des racines pour chaque équation transformée, puis la demi-différence de ces deux sommes donne la réponse.
Ce gente d'exercices a disparu du paysage contemporain.
Le 16908 me semble plus que trivial.
A+

john_john

Ce genre d'exercices a disparu du paysage contemporain... ainsi qu'à peu près tout ce qui demande un peu de calculs. Nos braves taupins actuels en arrivent même à être démunis devant le développement de $(a+b+c)^2$ (c'est-à-dire $\big((a+b)+c\big)^2$, n'est-ce-pas ?)   

Piteux_gore

RE
Je recommande le 16960.
A+

jean-éric

Bonjour,

Voici les rectifications (normalement je tenu compte de vos remarques sauf sans doute certains points signalés par Jandri en particulier 19734), j'ai mis à la suite mon travail actuel sur 1982-83 loin d'être terminé... 

Piteux_gore

RE
Il y a une coquille dans le 238 (intéressant) : le polynôme doit commencer par $x^n$ et non par $x^2$.
A+

Piteux_gore

RE
Concernant l'exercice 239, j'ai trouvé en tâtonnant que la limite est l'exponentielle de la matrice
$a11 = 0, a12 = \alpha, a21 = -\alpha, a22 = 0$, à savoir
$a'11 = \cosh \alpha, a'12 = \sin \alpha, a'21 = -\sinh \alpha, a'22 = \cos \alpha$.
Comment le prouver de manière irréprochable ?
A+

JLapin

En diagonalisant dans $\C$ par exemple.

Piteux_gore

RE
Le candidat est-il censé connaître la formule $\exp(M) = \lim_n(I + M/n)^n$ ?
A+

JLapin

Il faut qu'il demande à son interrogateur s'il doit la démontrer.

math2

john_john, le POX existait encore lorsque j'étais en prépa (en 1993), mais effectivement il était en train de disparaître ; auparavant, peu étaient hyper-alpha, ce qui n'était plus vrai lorsque j'y étais. Au passage à mon époque le dessin industriel (de même que les LV) ne comptaient qu'à l'admission. Du coup, ne m'étant pas présenté aux oraux de l'X (j'ai été petit-alpha), je n'ai pas mes notes de dessin ni de LV.

john_john

math2 : oui, effectivement, le POX a dû disparaître à la faveur de la réforme structurelle de 95-96 qui a vu la création de la filière PSI. Déjà, en 72, lorsque j'ai passé ce concours, moult épreuves ne comptaient que pour l'oral : DesDus, dissertation, calcul numérique. En revanche, la LV était prise en compte pour toutes les formes d'admissibilité. Au Grand O, chaque planche de maths avait coefficient 25 (pour un total de 136) ; il ne fallait pas se planter à ce moment-là...

etanche

Pour les exercices POX il y avait le livre Xavier Fairbank, C.Beef mathématiques au petit oral de l’X, édition ellipse 
publié en 1988.
https://www.librairiedialogues.fr/livre/859760-pox-mathematiques-au-petit-oral-de-l-ecole-po--xavier-fairbank-c-beef-editions-ellipses

jean-éric

Bonjour,

Voici les énoncés de l'année 89-90 : j'ai corrigé quelques erreurs, il doit en rester encore un bon paquet...

Bonne lecture. 

Jean-éric