Équation diophantienne $(x-y)^3=x^2+y^2$

Chaurien

J'ai mis à profit cette vacance du forum pour ranger de vieux papiers. J'ai retrouvé cette équation diophantienne dans $\mathbb Z$ :  $(x-y)^3=x^2+y^2$, que j'avais posée à l'occasion d'une formation de PEGC que j'animais il y a bien longtemps. J'avais oublié la solution, et je n'ai pas la moindre idée de l'origine de ce problème. J'ai cherché dans diverses directions, et j'ai fini par trouver. Il y a une famille de solutions tout à fait sympathiques, par exemple $x=10,y=5$.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

JLT

Les solutions sont $x_n=2n^3+4n^2+3n+1$ et $y_n=2n^3+2n^2+n$.

Esquisse de démonstration : posons $x-y=t$, alors $2xy=t^3-t^2$ donc $(x+y)^2=t^2+2(t^3-t^2)=t^2(2t-1)$. On en déduit que $2t-1$ est un carré. De plus comme il est impair, il existe $n\in\Z$ tel que $2t-1=(2n+1)^2$. Il est facile ensuite d'exprimer $x$ et $y$ en fonction de $n$.

jandri

Deux remarques :

il faut ajouter la solution triviale $x=y=0$ qui n'est pas de la forme $(x_n,y_n)$

on peut se limiter à rechercher les solutions dans $\N$ puisque d'une part il n'y a pas de solutions vérifiant $xy<0$ (facile à justifier) et d'autre part $x_{-n}=-y_{n-1}$ et $y_{-n}=-x_{n-1}$.

La démonstration de JLT est la plus rapide mais on peut faire autrement en posant aussi $t=x-y$ puis en introduisant le pgcd $d$ de $t$ et $y$ :
$y=dn$ et $t=dm$ avec $n$ et $m$ premiers entre eux.

On en déduit $dm^3=n^2+(n+m)^2$ d'où $m$ divise $2n^2$ d'où $m=1$ ou $m=2$.

On n'a pas $m=2$ car $8$ diviserait $n^2+(n+2)^2$ qui estcongru à $2$ modulo $8$ ($n$ étant impair).

Donc $m=1$, $d=n^2+(n+1)^2$ d'où $y=nd$ et $x=(n+1)d$.

Chaurien

Moi j'ai d'abord écarté les solutions triviales dans $\mathbb Z$ : $(x,y)=(0,0),(0,-1),(1,0)$, pour ne garder que $x \neq0$ et $y\neq 0$. 

Ensuite j'ai constaté que $x$ et $y$ sont de même signe. Si $(x,y)$ est solution, alors $(-y,-x)$ est solution. 

Le bon cadre intéressant est donc l'équation avec $(x,y) \in \mathbb N^* \times \mathbb N^*$.

Ensuite j'ai procédé comme Jandri, et curieusement avec les mêmes notations, c'est afin que l'indice pour la famille des solutions s'appelle finalement $n$. Cette famille est $x_n=(n+1)(n^2+(n+1)^2), y_n=n(n^2+(n+1)^2)$, $n \in \mathbb N^*$.

Ce me semble un bon exercice pour MPSI, ou peut-être pour Terminale s'il y a un peu d'arithmétique au programme, juste le PGCD et la parité.
On en fera un exercice en questions pour le rendre faisable
Mais je ne me souviens plus du tout où j'ai trouvé cet énoncé, il y a plus de quarante ans... L'aurais-je inventé ?
Bonne journée.
Fr. Ch.

visiteur

Bonjour
J'ai commencé par paramétrer l'équation diophantienne $$ x^2+y^2=z^3. $$
En effet, l'identité d'Euclide nous apprend que le produit de deux sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés.
En d'autres termes : $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\tag{1}$$ $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\tag{2}$$
Par application de cette identité, on obtient
à partir de l'identité $(1)$ : $$(a^2+b^2)^3=(a^3+ab^2)^2+(a^2b+b^3)^2.\tag{3}$$
Et à partir de l'identité $(2)$ : $$(a^2+b^2)^3=(a^3-3ab^2)^2+(3a^2b-b^3)^2.\tag{4}$$
Pour avoir des solutions, on peut donc résoudre le système étant donné l'équation $(3)$
$$
\left\{\begin{array}{l}
&x=a^3+ab^2\\
&y=a^2b+b^3\\
&x-y=a^2+b^2
\end{array}\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
&x=a(x-y)\\
&y=b(x-y)\\
&x-y=a^2+b^2
\end{array}\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
&(a-1)x-ay=0\\
&bx-(b+1)y=0\\
&x-y=a^2+b^2
\end{array}\right.
$$

Le déterminant du système formé des deux premières équations est $\Delta=(a-1)(b+1)+ab$

Si $\Delta \neq 0$ on a $x=y=0$

Si $\Delta\neq 0$
si $b\neq \frac{-1}{2}$ alors $a=\frac{b+1}{2b+1}$
on a donc : $$
\left\{\begin{array}{l}
&a=\frac{b+1}{2b+1}\\ 
&x=(b+1)(a^2+b^2)\quad  (5)\\
&y=b(a^2+b^2)  \quad      (6)
\end{array}\right.
$$ En réintroduisant les équations $(5)$ et $(6)$ dans l'équation diophantienne on obtient des solutions triviales.

Appliquons maintenant la deuxième identité d'Euclide donc
$$
\left\{\begin{array}{l}
&x=a^3-3ab^2\\
&y=3a^2b-b^3\\
&x-y=a^2+b^2
\end{array}\right.
$$ il faut donc choisir $a$ et $b$ tels que ...

Chaurien

L'identité  $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac±bd)^2+(ad∓bc)^2$ est présentée sous plusieurs appellations, mais il ne me semble pas l'avoir jamais vue attribuer à Euclide. Moi je préfère l'appeler identité de Fibonacci (Léonard de Pise) car elle figure dans son Liber Quadratorum (1225). 

Voir par exemple : Dickson, History of the theory of numbers, Volume II, Chelsea 1971, p. 226.

  https://www.quora.com/In-simple-terms-whats-the-proof-of-Fibonaccis-identity-a-2-b-2-c-2-d-2-ac-bd-2-ad-bc-2-Where-does-the-minus-sign-come-fro

Joaopa

Diophante dans son <<Arithmétque>> a énoncé un cas particulier de cette inégalité. Le première apparition de cette inégalité en toute généralité est de Brahmagupta dans son <<Brāhmasphuṭasiddhānta>>. L’œuvre de Brahmagupta  était connu des Arabes. L'ouvrage a été traduit en arabe et enfin en latin en 1126. Comme Fibonacci connaissait cette version, il est très vraisemblable qu'il ait repris cette formule, plutôt que de l'avoir découverte.

Petite aparté inutile : la première solution de l'équation de Pell-Fermat n'est pas Fermat encore moins de Pell, mais bien de Brahmagupta

visiteur

pour l'équation de départ $x^2+y^2=z^3$, si $(x,y,z)$ est une solution alors $(c^3x,c^3y,c^2z)$ est aussi une solution 

On peut donnc poser le système plus général
$$
\left\{\begin{array}{l}
&x=c^3(a^3+ab^2)\\
&y=c^3(a^2b+b^3)\\
&x-y=c^2(a^2+b^2)
\end{array}\right.
$$

$\Longleftrightarrow$
$$
\left\{\begin{array}{l}
&x=ac(x-y)\\
&y=bc(x-y)\\
&x-y=c^2(a^2+b^2)
\end{array}\right.
$$

les deux premières équations donnent le système 
$$
\left\{\begin{array}{l}
&(ac-1)x-acy=0\\
&bcx-(bc+1)y=0
\end{array}\right.
$$

On a
des solutions non triviales ssi
$$(ac-1)(bc+1)+abc^2=0$$
ce qui donne $a=\dfrac{bc+1}{2bc^2+c}$
puis on réecrit l'équation $x^2+y^2=(x-y)^3$, ce qui donne la condition $a-b=1$ sur $a$ et $b$
donc $c=\dfrac{-1}{2b(b+1)}$

de plus on a la condition $a=b+1$

On réecrit l'équation $x^2+y^2=(x-y)^3$\
$(a^2+b^2)^3=(a^3-3ab^2-3a^2b-b^3)^3$\
$a^3+b^3-3ab(a+b)=a^2+b^2$
on pose $s=a+b$ et $p=ab$
donc $s^3-6ps=s^2-2p$
donc $p=\dfrac{s^3-s^2}{6s-2}$

donc $(a-b)^2=s^2-4p=\dfrac{s^2(s+1)}{3s+1}$

soit $\dfrac{s+1}{3s-1}=t^2$ , $s=\dfrac{t^2+1}{3t^2-1}$
 
On obtient le système 
$$
\left\{\begin{array}{l}
&a+b=\dfrac{t^2+1}{3t^2-1}\\
&a-b=\dfrac{t^3+t}{3t^2-1}
\end{array}\right.
$$

donc $a=\dfrac{t^3+t^2+t+1}{6t^2-2}$ et $b=\dfrac{-t^3+t^2-t+1}{6t^2-2}$

On a les égalités :
$a=\dfrac{(t+1)(t^2+1)}{2(3t^2-1)}=\dfrac{s(t+1)}{2}$ et $b=\dfrac{s(-t+1)}{2}$

Exemple 

$t=2$, $a=\dfrac{15}{22}$ , $b=\dfrac{-5}{22}$ , $x=\dfrac{1125}{5324}$ , $y=\dfrac{-1625}{5324}$

Chaurien

Joapa, Pourrais-tu nous communiquer une référence qui permette de prendre connaissance de l’œuvre de  Brahmagupta, avec traduction fiable, afin que nous puissions  nous faire une opinion exacte sur l'apport de ce mathématicien au sujet de l'identité en question, autrement que par ouï-dire ? Le problème avec ces préhistoires exotiques c'est que nous sommes obligés de croire sur parole, ce qui n'est pas vraiment une attitude scientifique.
Par contre, chacun peut prendre connaissance de l’œuvre de Léonard de Pise, notamment ce Livre des nombres carrés (Liber Quadratorum). Ouvrage qui a eu une destinée singulière, publié en 1225, bien avant l'invention de l’imprimerie, mais tombé dans l'oubli et considéré comme perdu pendant plusieurs siècles, retrouvé en 1854 par le prince Baldassare Boncompagni, et imprimé alors pour la première fois !
L’œuvre de Léonard de Pise est disponible en traduction anglaise : je donnerai les références si  besoin est. Le Liber quadratorum  a été traduit pour la première fois du latin médiéval en français par Paul Ver Eecke : Léonard  de Pise, Le livre des nombres carrés, Desclée de Brouwer, 1952.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Livre_des_carrés
https://www.livresetcollections.com/livre-ancien/le-livre-des-nombres-carres/
https://www.abebooks.com/Léonard-Pise-livre-nombres-carrés-Ver/31624834755/bd
Ver Eecke écrit dans son introduction :  « On a longtemps pu croire que beaucoup de questions traitées par Léonard de Pise étaient d'origine arabe (....). Mais Borlotti a montré, à la lumière de documents arabes explorés de nos jours en plus grand nombre, que Léonard a emprunté relativement peu de chose à la science arabe ».

Il conclut : « L’œuvre de Léonard de Pise est de celles qui honorent l'humanité et appartiennent au patrimoine scientifique de celle-ci ». Ce génie est le père du renouveau  des mathématiques européennes après un recul relatif, en renouant avec la science des Anciens, ce renouveau qui a donné naissance à l'essor que l'on sait. Sa mémoire mérite d'être honorée pour un peu plus qu'une histoire de population de lapins (même si la suite en question est pleine d'intérêt). C'est pourquoi je persisterai à user de l'appellation :  identité de Fibonacci.

Bonne journée.

Fr. Ch.

01/10/2023

nicolas.patrois

Chaurien, ta haine des non-Européens te fait écrire n’importe quoi et choisir tes sources selon ce qui t’arrange ; ce qui n’est pas une attitude très scientifique et que les zététiciens appellent la cueillette des cerises.

Léonard est allé en Algérie (actuelle) et au Moyen-Orient et qu’il a été en contact avec les Arabo-musulmans (y compris juifs j’imagine) du coin, dont des écrits mathématiques (d’algèbre comme de numération indienne, décimale de position).

Ta source n’est plus très jeune, la mienne fait partie de la collection des 60 livres publiés chez RBA (qui a une dizaine d’années).

Il n’est pas le seul à avoir introduit la numération décimale en Europe : Gerbert d’Aurillac (qui est allé en Espagne) l’a tenté, sans succès et avant lui, un moine anglais du IXe siècle, je crois, idem.
https://www.bibmath.net/bios/index.php?action=affiche&quoi=fibonacci
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci/

Chaurien

nicolas.patrois, la « haine des non-Européens » n'est pas du tout mon sentiment, et je ne vois pas ce qui t'autorise à formuler un tel jugement à mon encontre. Pour l'anecdote,  j'ai passé dix ans de ma carrière à enseigner en Afrique du Nord (Algérie et Maroc), ce dont je garde le meilleur souvenir, et mes  meilleurs amis sont une infirmière ivoirienne et un universitaire libanais. Veille donc  à l'avenir à t'abstenir de pareils dérapages, réponds sur le fond des choses sans attaque personnelle , si tu en es capable, et si tu retirais ce propos injurieux et présentais des excuses, ce ne serait pas de trop.

nicolas.patrois

J’écris ça parce que tu passes ton temps ici à refuser à tel ou tel mathématicien arabo-musulman (ou ici indien) d’avoir un théorème à son nom, au profit de mathématiciens occidentaux. Et tu le refuses en utilisant des références bien choisies, en oubliant toutes celles qui te contredisent. Tu fais exactement comme les conspirationnistes et autres zozos qui vont choisir UN texte parmi une tripotée pour confirmer leur délire, là cela s’appelle un biais de confirmation.

Et ton histoire personnelle n’a rien à voir là-dedans, je juge tes propos sur ce forum.

À part ça, je suis d’accord avec toi pour ne pas nommer cette égalité « égalité d’Euclide »

Lirone93

Le biais de confirmation est apparemment en train de devenir partout une bannière derrière laquelle on peut exprimer une opinion en se soustrayant à toute critique constructive. C'est dans un sens, un comble.
Dommage, car j'étais plutôt en accord avec les arguments.

Je suis persuadé que cette expression est une plaie contagieuse, contraire à toute discussion sereine.

nicolas.patrois

C’est pourtant ce qu’il fait : ne présenter et ne chercher que les arguments favorables à sa thèse, quand il en présente il est vrai.

Lirone93

Traduction en plus claire  : Chaurien fait un biais de confirmation, quoique cette expression en apparence savante donc forcément pertinente, veuille dire, honte à lui, ... nous, ici, on fait des maths, nous ne réfléchissons pas comme des conspirationnistes.

Heu.. comment dire...

nicolas.patrois

Pour préciser : quand il cherche à se convaincre, il a un biais de confirmation en n’allant chercher que les informations qui le confortent dans ses préjugés.
De notre côté, nous voyons une cueillette des cerises.
Ce n’est pas une question de honte (on est tous faillibles), c’est juste que je relève un fait que je vois depuis quelques années chez lui et qu’il ne tient aucun compte de nos remarques ni de nos arguments.

Bref, la question originale est intéressante, c’est dommage qu’il ouvre la porte au déraillement de fil à cause de ses marottes.

Lirone93

Je dis juste que ce n'est pas forcément un exemple où la signification stricto sensu, d'un biais de confirmation peut s'appliquer.

nicolas.patrois

Si tu lis ses messages sur ce fil et si tu ne l’as pas lu dans d’autres, en effet.
Sauf que je le fréquente depuis un moment et quand il s’agit d’histoire des mathématiques (ou de toute autre discipline où les savants arabo-musulmans apparaissent), là si, il s’agit bien de biais de confirmation parce qu’il ne va pas chercher ce qui le contredit, il ne cite que ce qui va dans son sens (quand il a des sources), il ne cherche que ce qui nie leur apport scientifique.

Joaopa

Suivant les bonnes vielles méthodes du gaucho de base, Nicolas Patrois essaie de discréditer un participant qui ne partage pas ses idées avec des  propos essayant de la faire passer pour un ignoble raciste,  enrobant le tout d'un pseudo-argument scientifuqe (le fameux biais de confirmation bien passe partout),  il se permet  dee tomber à bras raccourcis sur ce sympathique participant qu'est Chaurien. Pas de bol pour lui, sa statégie tombe à l'eau puisque Chaurien m'a demandé des références pour que je justifie mes propos. C'est la démarche de toute honnête intervenant cherchant à se documenter.

Je lui fournis bien volontiers

une traduction anglaise de l'oeuvre de Brahmagupta a été faie par Colebrooke en 1817
elle est disponible à la BNF:
https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30154247r

J'en ai trouvé une verson numérisée sur archive.org
https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft

Le lien direct
https://archive.org/download/algebrawitharith00brahuoft/algebrawitharith00brahuoft.pdf

Pour la partie qui nous intéresse voir 18.65

Lirone93

Ok, alors avant c'était non européens maintenant c'est arabo-musulmans, ça relativise la pertinence dans ton utilisation de l'expression biais de confirmation. Cela pourrait être ça ou autre chose. Quoi ? J'en sais rien et je m'en fous.
Ici je viens pour les maths. C'est tout. Et je me retire donc de ce pas de cette discussion.

nicolas.patrois

Joaopa, je m’en tape que Chaurien soit raciste ou pas, en revanche je constate qu’il persiste à refuser l’honneur d’avoir un théorème à leur nom à tout un tas de mathématiciens arabo-musulmans (et maintenant c’est au tour de Brahmagupta). Par ailleurs, j’imagine qu’il s’est passé des choses en histoire des mathématiques depuis 1817. Au hasard, pense à la version de Peyrard des Éléments d’Euclide comparée à celle de Heath un petit siècle après.
Manifestement, Lirone93, tu n’as pas assez lu Chaurien quand il s’avance un peu trop rapidement en histoire des sciences. Si je parle de mathématiciens arabo-musulmans (pour être plus précis, vivant dans des pays de culture arabo-musulmane), c’est parce qu’al-Kashi et al-Khwarizmi ont pris cher et que dans ce fil, c’est au tour de Brahmagupta. Ce n’est pas que j’y sois particulièrement compétent mais là, plus que Chaurien qui persiste dans ses préjugés que j’ose dire racistes, oui, puisque ce sont toujours les mêmes qui trinquent.

En revanche, quand Chaurien parle de mathématiques, là oui, je me tais et je lis.

Lirone93

« les mêmes » qui trinquent... bref... ça confirme mon souhait de ne pas poursuivre sur cette voie.

nicolas.patrois

Va donc lire sa prose quand il se pique d’histoire des sciences, tu verras bien qui se voit systématiquement refuser les honneurs et au profit de qui.

Lirone93

Que suis-je sensé trouver, je ne le comprends même pas : « les mêmes » = non-européens, arabo-musulmans etc. ?

nicolas.patrois

Arrête d’être de mauvaise foi, tu as très bien compris.
Sinon, tu peux lire la première phrase de mon message de 19h16 (modifié à 19h19). Si vraiment tu ne comprends pas, pratique ce que tu écris : quitte le fil.

Lirone93

Ok alors si tu veux j'ai compris. On est bien avancé.
Déjà petit point hors sujet :

Dans un sens faible, le racisme c'est une pensée qui voit une société à travers le paradigme des « races ».
Par exemple, aux états unis, des statistiques peuvent être basées sur des races, c'est du racisme.

Sinon, c'est peut-être toi qui n'a pas compris, je pense.
Raciste, tu comprends ce que ça veut dire mais ça serait un ressenti personnel et les autres ne verraient pas ce que toi tu dis voir. Et tu favoriserais l'information selon laquelle ce que tu dis est univoque, et donc que je n'ai pu que le comprendre. Biais de confirmation aussi, car tu ne verrais que ce qui va dans le sens de ton ressenti.

Les idéologies candidates pourraient être multiples (par exemple, xénophobie, racisme, nationalisme, arianisme, extrèmisme de droite, impérialisme, chauvinisme, etc.) mais est-ce l'endroit pour se crêper le chignon ?

AD

STOP

La question initiale a eu ses réponses.
Chaurien a eu ses références.
On peut donc fermer.
AD