Manipulation de l'exponentielle en éq. et ineq.

Justx

Bonjour, je révisais des notions pour ma rentrée dans le supérieur en septembre, et j'ai rencontré une petite difficulté dans les équations et inéquations avec l'exponentielle. Je sais qu'il faut essayer de retomber sur la forme exp(a) = exp(b) <=> a = b 
Quand c'est impossible je sais qu'on peut essayer de faire disparaître l'exponentielle avec une inconnue X par exemple, ce que j'ai réussi à faire pour : exp(2x-1) - sqrt(exp(2x+2)) - 2exp(3) = 0 avec un X = exp(x+1)
Mais je n'arrive pas du tout à manipuler ceci : 
exp(x) + 10exp(-2x) = 4 + 7exp(-x)
 Et 
exp(2x) - exp(x+2) - exp(2-x) + 1 <= 0
Je ne sais pas si c'est une méthode que je connais mais que je n'arrive pas à manipuler correctement où si c'est une méthode que je ne connais qui sert à résoudre l'inéquation (j'ai essayé d'étudier la dérivée mais je n'arrive à rien de concluant).

Cyrano

$\exp(-x) = 1/\exp(x)$ et $\exp(-2x) = 1/\exp(x)^2.$
En posant $X = \exp(x)$ tu retombes donc sur une équation polynomiale.

JavierT

Bonjour,

Justx a dit :

Bonjour, je révisais des notions pour ma rentrée dans le supérieur en septembre,

Tu rentres dans quelle formation ? quel est ton niveau scolaire ?

Mais je n'arrive pas du tout à manipuler ceci : 
exp(x) + 10exp(-2x) = 4 + 7exp(-x)

Indication : peut-être un petit changement de variable : quel lien entre $\exp(-x)$ et $\exp(x)$ ? Et entre $\exp(-2x)$ et $\exp(x)$ ?

exp(2x) - exp(x+2) - exp(2-x) + 1 <= 0

Idem : comment peux-tu transformer $\exp(x+2)$ en fonction de $\exp(x)$ ? Idem pour $\exp(2-x)$.

Justx

Tu rentres dans quelle formation ? quel est ton niveau scolaire ?

Je rentre en MPSI l'année prochaine, je sors tout juste de la terminale option maths/maths expertes.
Merci des indications je m'y replonge demain en espérant réussir, c'est vrai que j'avais essayé d'utiliser une variable X=exp(x+2) mais ça ne marchais pas pour exp(x-2)

Indication : peut-être un petit changement de variable : quel lien entre $\exp(-x)$ et $\exp(x)$ ? Et entre $\exp(-2x)$

Ça je connais, 1/exp(x) et 1/exp(2x) = 1/exp(x)^2
Merci, je reposerais un message si je n'y arrive toujours pas, sinon merci 

Ben314159

Salut,
Concernant exp(x+2), c'est égal à exp(x).exp(2) où exp(2) n'est jamais qu'une constante comme une autre (un soupçon plus compliqué que 0 ou 1, je te l'accorde, mais bon, c'est une constante . . .)

visiteur

Pour ce type de questions il faut d'abord trouver le bon changement de variable puis les propriétés algébriques de la fonction exponentielle permettent des simplifications.

Dans le cas présent on se ramène à des équations polynomiales qu'on sait éventuellement résoudre.

Pour les inéquations c'est le même changement de variable que pour les équations puis il faut factoriser et faire un tableau de signe.

Il arrive aussi qu'on a recours à la dérivée mais il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, c'est le cas des exercices où on resoud des équations non polynomiales 

visiteur

@Justx

Je vous ai envoyé un message en privé 

Justx

Oui je l'avais ça, mais c'était pour exprimer exp(2-x) en fonction de exp(x+2).
Et j'ai réussi la première équation ( x=0 et x=ln(5) )
Mais l'inéquation je bloque avec : X³ - exp(2) X² + X - exp(2) < 0 
Je m'en veux de bloquer la dessus je vais essayer de calculer la dérivée mais je ne suis pas sûr que ce soit la méthode.

raoul.S

Il faut remarquer que $X^3-e^2X^2$ est égal à $X^2(X-e^2)$. Tu peux donc factoriser ton expression en sortant un $X-e^2$.

Justx

J'ai factorisé mon polynome de degré 3 contenant la variable par X-e², et je dis que comme l'autre facteur (X²+1) > 0 alors le polynome est du signe de X-e², et donc c'est négatif pour X < e² <=> exp(x) < e² <=> x < 2 
Ca convient ?

raoul.S

Oui.