Manipulation de l'exponentielle en éq. et ineq. — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Manipulation de l'exponentielle en éq. et ineq.

Modifié (August 2023) dans Algèbre
Bonjour, je révisais des notions pour ma rentrée dans le supérieur en septembre, et j'ai rencontré une petite difficulté dans les équations et inéquations avec l'exponentielle. Je sais qu'il faut essayer de retomber sur la forme exp(a) = exp(b) <=> a = b 
Quand c'est impossible je sais qu'on peut essayer de faire disparaître l'exponentielle avec une inconnue X par exemple, ce que j'ai réussi à faire pour : exp(2x-1) - sqrt(exp(2x+2)) - 2exp(3) = 0 avec un X = exp(x+1)
Mais je n'arrive pas du tout à manipuler ceci : 
exp(x) + 10exp(-2x) = 4 + 7exp(-x)
 Et 
exp(2x) - exp(x+2) - exp(2-x) + 1 <= 0
Je ne sais pas si c'est une méthode que je connais mais que je n'arrive pas à manipuler correctement où si c'est une méthode que je ne connais qui sert à résoudre l'inéquation (j'ai essayé d'étudier la dérivée mais je n'arrive à rien de concluant).
Mots clés:

Réponses

  • $\exp(-x) = 1/\exp(x)$ et $\exp(-2x) = 1/\exp(x)^2.$
    En posant $X = \exp(x)$ tu retombes donc sur une équation polynomiale.
  • Modifié (August 2023)
    Bonjour,
    Justx a dit :
    Bonjour, je révisais des notions pour ma rentrée dans le supérieur en septembre,
    Tu rentres dans quelle formation ? quel est ton niveau scolaire ?
    Mais je n'arrive pas du tout à manipuler ceci : 
    exp(x) + 10exp(-2x) = 4 + 7exp(-x)
    Indication : peut-être un petit changement de variable : quel lien entre $\exp(-x)$ et $\exp(x)$ ? Et entre $\exp(-2x)$ et $\exp(x)$ ?
    exp(2x) - exp(x+2) - exp(2-x) + 1 <= 0
    Idem : comment peux-tu transformer $\exp(x+2)$ en fonction de $\exp(x)$ ? Idem pour $\exp(2-x)$.
  • Modifié (August 2023)
    Tu rentres dans quelle formation ? quel est ton niveau scolaire ?
    Je rentre en MPSI l'année prochaine, je sors tout juste de la terminale option maths/maths expertes.
    Merci des indications je m'y replonge demain en espérant réussir, c'est vrai que j'avais essayé d'utiliser une variable X=exp(x+2) mais ça ne marchais pas pour exp(x-2)
    Indication : peut-être un petit changement de variable : quel lien entre $\exp(-x)$ et $\exp(x)$ ? Et entre $\exp(-2x)$
    Ça je connais, 1/exp(x) et 1/exp(2x) = 1/exp(x)^2
    Merci, je reposerais un message si je n'y arrive toujours pas, sinon merci 
  • Modifié (August 2023)
    Salut,
    Concernant exp(x+2), c'est égal à exp(x).exp(2) où exp(2) n'est jamais qu'une constante comme une autre (un soupçon plus compliqué que 0 ou 1, je te l'accorde, mais bon, c'est une constante . . .)
  • Pour ce type de questions il faut d'abord trouver le bon changement de variable puis les propriétés algébriques de la fonction exponentielle permettent des simplifications.

    Dans le cas présent on se ramène à des équations polynomiales qu'on sait éventuellement résoudre.

    Pour les inéquations c'est le même changement de variable que pour les équations puis il faut factoriser et faire un tableau de signe.

    Il arrive aussi qu'on a recours à la dérivée mais il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, c'est le cas des exercices où on resoud des équations non polynomiales 


  • @Justx

    Je vous ai envoyé un message en privé 
  • Modifié (August 2023)
    Oui je l'avais ça, mais c'était pour exprimer exp(2-x) en fonction de exp(x+2).
    Et j'ai réussi la première équation ( x=0 et x=ln(5) )
    Mais l'inéquation je bloque avec : X³ - exp(2) X² + X - exp(2) < 0 
    Je m'en veux de bloquer la dessus je vais essayer de calculer la dérivée mais je ne suis pas sûr que ce soit la méthode.
  • Il faut remarquer que $X^3-e^2X^2$ est égal à $X^2(X-e^2)$. Tu peux donc factoriser ton expression en sortant un $X-e^2$.
  • J'ai factorisé mon polynome de degré 3 contenant la variable par X-e², et je dis que comme l'autre facteur (X²+1) > 0 alors le polynome est du signe de X-e², et donc c'est négatif pour X < e² <=> exp(x) < e² <=> x < 2 
    Ca convient ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!