Contraposée

Lolo36
Modifié (August 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour
J'ai du mal sur la contraposée de cet énoncé : "Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ bornée et dérivable telle que $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell $. Montrer que $\ell=0$." 

Si on raisonne par contraposée, cela donne : supposons $\ell\ne 0$. Montrons que $f$ n'est pas bornée ou que $f$ n'est pas dérivable telle que $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell $ c'est bien ça non ? Ok montrons que $f$ n'est pas bornée. 

Ensuite, on se sert du fait que $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell $ et aussi que $f$ est dérivable pour montrer que $f$ n'est pas bornée (on peut utiliser le TAF et faire tendre $x$ vers l'infini). 

J'ai deux questions : pourquoi a-t-on le droit d'utiliser le fait que $f$ est dérivable et que $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell$ alors qu'on a simplement supposé $\ell\ne 0$ ?
Deuxièmement, le "ou" qui apparait dans la phrase "Montrons que $f$ n'est pas bornée ou que $f$ n'est pas dérivable telle que $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell $" est-il logique (inclusif) ? 
Merci d'avance.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (August 2023)
    Tu disposes bien de $f$ dérivable dont la dérivée posséde une limite non nulle $\ell$ pour montrer que $f$ n'est pas bornée.
    En fait, tu te donnes une fonction $f$ dérivable telle que $f'$ tende vers $\ell$.
    Tu essaye de démontrer que $f$ bornée implique $\ell=0$.
    La contraposée est bien $\ell\neq 0$ implique $f$ non bornée.

    Il est important de bien séparer la présentation des objets à manipuler de l'implication à démontrer ici si tu ne veux pas te retrouver dans un bourbier logique.
  • Lolo36
    Modifié (August 2023)
    En logique, à première vue, j'aurais écrit l'énoncé comme ceci :
    $( f \ \text{bornée} \  \wedge \ \text{dérivable}\ \ \mid \ \lim\limits_{+\infty} f'=\ell) \Longrightarrow (\ell=0)$,
    d'où la contraposée : $(\ell\ne 0)\Longrightarrow (f\ \text{ non bornée} \  \vee \ \text{ non dérivable}\ \mid \ \lim\limits_{+\infty} f'=\ell) $. 
    Ah en fait vous me dîtes que l'énoncé s'écrit :
    $\forall f ,\ (\text{dérivable}\ \ \wedge \ \lim\limits_{+\infty} f'=\ell) , ((f \ \text{bornée}) \Longrightarrow (\ell=0))$.
    D'où la contraposée qui est cette fois-ci cohérente puisqu'on a toujours l'info sur la dérivabilité et la imite.
    C'est bien ça ?
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Bonsoir
    L'énoncé de départ étant mal rédigé, on ne sait pas si ce ne serait pas
    $( f \ \text{bornée} \  \wedge \ \text{dérivable}\ \ \wedge \ \lim\limits_{+\infty} f'=\ell) \Longrightarrow (\ell=0)$
    qui donnerait encore une contraposée.
    Difficile de contraposer un un texte qui n'est pas rédigé précisément (en particulier savoir quelle est l'implication qu'on veut contraposer), puisque la contraposition concerne une implication.
    Cordialement.
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Un énoncé qui commence par un quantificateur n'a pas de contraposée, le concept ne concerne que des énoncés de la forme $A\Rightarrow B$, dont la contraposée est alors $(\neg B ) \Rightarrow \neg A$.
    Ici il s'agirait plutôt de donner la contraposée d'un des sous-énoncés de l'énoncé de base (mais lequel ?).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Soit $f$ dérivable et $\ell\in\R$. On suppose que $f'$ tend vers $\ell$ en $+\infty$.
    Enoncé : montrer que $f$ bornée implique $\ell=0$.
    Contraposée : montrer que $\ell\neq 0$ implique $f$ non bornée.
    Ca me semble le point de vue le plus raisonnable pédagogiquement parlant.
  • Oui je suis d'accord, l'énoncé est mal rédigé, c'est dans ma feuille d'exos. 
  • Non, l'énoncé est très normalement rédigé. C'est plutôt toi qui cherche des choses un peu compliquées, mais c'est un peu normal quand on débute :)
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    Bonsoir,
    parfois l’énoncé est celui-là.
    Soit $f$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ bornée et dérivable.
    Montrer que : si $\lim\limits_{+\infty} f' =\ell$ alors $\ell=0$.
    C’est plus simple à appréhender. Même si cela cache encore quelque chose : « la limite en l’infini de $f’$ existe ».
    Cordialement
    Dom
  • Mais on ne sait pas à quel ensemble peut appartenir $l$. Bon évidemment, c'est $\mathbb{R}$ mais ça reste incomplet « syntaxiquement ». 
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Oui j’ai pensé à ça en effet…
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