Votre avis sur un raisonnement

Piteux_gore

Bonjour,
Que pensez-vous de la solution suivante (tirée d'une brochure Animath) ?
A+

Chaurien

En effet, ce  raisonnement semble défectueux, ou du moins incomplet. Si le produit de deux entiers est de la forme $7q^2$ avec $q$ entier, on ne voit pas pourquoi ceci impliquerait que l'un de ces entiers est un carré. Il manque un argument.

 Si $m(m-4)=7·4^2 n^2$, alors $m$ est multiple de $4$, soit $m=4x$, avec $x$ entier. D'où : $x(x-1)=7n^2$, et comme les entiers $x$ et $x-1$ sont premiers entre eux, dans ce cas on peut en déduire que l'un des deux est un carré. Etc.

Piteux_gore

RE
Supposons, pour fixer les idées, que la décomposition en facteurs premiers de $n$ soit $p.q$ ; on a donc $m(m - 4) = 7.2^4.p^2.q^2$.
Qu'est-ce qui empêche d'avoir $m = 7.2^4.p$ et $m - 4 = p.q^2$ ?
A+

Dom

La phrase qui commence par « Ainsi… » ne donne pas d’argument. 

Bibix

Ben dans ce cas, $q$ est divisible par $2$ donc $q = 2$ si $q$ est premier. Mais du coup, $m = 4(1+p) = 7.2^4.p$ ce qui est impossible.

Chaurien

Je continue. Si $x$ n'est pas un carré, alors $x-1$ est un carré, d'où : $x-1=a^2$ et $x=7b^2$, avec $a$ et $b$ entiers. Par suite, $a^2-7b^2=-1$, qui implique $a^2 \equiv -1~ (\mod. 7)$, ce qui est impossible. On en conclut que $x$ est un carré, et $m=4x$ aussi en conséquence. 

Je lorgnais vers une équation de Fermat-« Pell », mais on y a échappé.

L'auteur de l'énoncé est trop intelligent, il saute allègrement par-dessus les intermédiaires de raisonnement, que nous, humbles quidams, devons laborieusement parcourir .

JLapin

Oui, c'est davantage une indication de résolution qu'une solution complètement rédigée. Si comme je l'imagine, une centaine d'exercices sont "corrigés" dans la même brochure, on peut aisément pardonner à l'auteur

Dom

Parfois c’est aussi à la suite de théorèmes ou remarques sur le sujet.  Et on comprend les raccourcis, comme dans un cours où le prof annonce « par exemple avec cet énoncé…. ainsi… ». Ce serait peut-être plus clair d’écrire « on démontre alors que ». 

jandri

Chaurien a dit :

Je lorgnais vers une équation de Fermat-« Pell », mais on y a échappé.

On n'en a pas besoin pour résoudre l'exercice mais si on recherche les valeurs de $n$ qui conviennent il s'agit bien de résoudre une équation de Fermat-Pell.

On trouve $n=ab$ et $m=(2a)^2$ avec $(a,b)$ solution de l'équation $a^2-7b^2=1$.
Les premières valeurs de $n$ sont $0,24,6096$. La suite $(n_k)$ vérifie la récurrence $n_k=254n_{k-1}-n_{k-2}$.