Un sous-groupe ouvert dans les idèles

noradan

Bonjour

$K$ est un corps de nombres $\cal S$ un ensemble fini de places contenant les places infinies.

On m'affirme que $\displaystyle\prod_{\cal S}(K_{\frak p}^\times)^n\prod_{\bar{\cal S}}{\cal U}_{\frak p}$ est un sous-groupe ouvert.

${\cal U}_{\frak p}$ est l'ensemble des unité de $K_{\frak p}$ et la puissance $n$ est celle du produit dans $K_{\frak p}$ (ensemble des puissance $n$)

Je ne vois pas pourquoi ! Parce que $(K_{\frak p}^\times)^n$ n'a aucune raison a priori d'être ouvert ; du moins je ne vois pas

Merci.

Paul Broussous

Notons ${\mathcal M}_{\mathfrak p}$ l'idéal maximal de l'anneau des entiers de $K_{\mathfrak p}$. Alors l'ensemble des $1+{\mathcal M}_{\mathfrak p}^k$, $k\geqslant 1$ est une base de voisinages de $1$ dans $K_{\mathfrak p}^\times$.  Pour montrer que $(K_{\mathfrak p}^\times )^n$ est ouvert, il faut montrer qu'il contient  $1+{\mathcal M}_{\mathfrak p}^k$. C'est équivalent à montrer que tout élément de $1+{\mathcal M}_{\mathfrak p}^k$ possède une racine $n$ème si $k$ est assez grand. Pour cela utiliser la série formelle  $(1+x)^{1/n}:=\sum_{i\geqslant 0} {1/n \choose i }\, x^i$ pour produire une telle racine $n$ème.

 Pour conclure, il faut se souvenir de la topologie des idèles.