Achille et la tortue

Jean--Louis
Modifié (August 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour.
Il y a quelque chose qui me dérange dans la façon dont on "résout" le paradoxe d'Achille et la tortue." En effet, il me semble qu'il faudrait, à côté de la "démonstration" mathématique expliquer en quoi et où le raisonnement "Achille ne rattrapera jamais la tortue car chaque fois...." est faux. Bien sûr on joue là avec l'infini et c'est toujours très risqué, mais quelle est vraiment l'erreur dans ce raisonnement ?
Merci.
Bonne journée.
Jean-Louis.

Réponses

  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2023)
    Certes, Achille arrive à la hauteur de la tortue en une infinité "d'étapes", mais des étapes qui deviennent infiniment courtes en temps et en distance. Où est le problème ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Héhéhé
    Modifié (August 2023)
    L'erreur dans le raisonnement est le mot "jamais".
    Pour simplifier, considérons que Achille est à l'instant $t_0 = 0$ au point d'abscisse $x_0 = 0$ et qu'à ce moment moment la tortue est au point d'abscisse $x_1 = 100$ (en mètre). Imaginons aussi qu'Achille court à la vitesse $v_a = 10$ (mètres par seconde) et la tortue à la vitesse $v_t = 0,\!1$.Après la première étape, Achille est arrivé au point d'abscisse $x_1 = 100$, tandis que la tortue est située au point d'abscisse $x_2 = 101$; nous sommes alors à l'instant $t_1 = 10$.
    Après la deuxième étape, Achille est arrivé au point d'abscisse $x_2 = 101$ tandis que la tortue est située au point d'abscisse $x_3 = 101,\!01$; nous sommes alors à l'instant $t_2 = 10 + \frac{10}{100}$.Par récurrence, après la $n$-ième étape, Achille est arrivé au point d'abscisse
    $$x_n = 100 + 1 + \frac{1}{100}  + \cdots + \frac{1}{100^{n-2}}$$
    nous sommes alors à l'instant
    $$t_n = 10 + \frac{10}{100} + \cdots + \frac{10}{10^{n-1}}$$
    À cet instant, la tortue est située à l'abscisse
    $$x_{n+1} =  100 + 1 + \frac{1}{100}  + \cdots + \frac{1}{100^{n-1}}$$
    On peut être tenter de donner raison au paradoxe d'une certaine manière car $x_n < x_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb N$, ce qui signifie qu'à l'instant $t_n$, la tortue possède encore une avance sur Achille.Le problème ici est l'utilisation du mot "jamais", le paradoxe ne considère aucun instant supérieur ou égal à
    $$T = \lim_{n \to +\infty} t_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{10}{100^n} = \frac{1000}{99}$$
    A cet instant $T$, Achille a parcouru exactement la distance
    $$ v_a\,T = 10 \cdot \frac{1000}{99} = \frac{10000}{99}$$
    alors que la tortue a parcouru exactement la distante 
    $$100+v_t\,T = 100+0,\!1 \cdot \frac{1000}{99} = \frac{10000}{99}$$
    À l'instant $T$ précisément, Achille rattrape la tortue. 
    Si on décrit la course non plus pendant l'intervalle de temps $[0, \frac{1000}{99}[$ comme le fait implicitement le paradoxe, Achille rattrape la tortue à l'instant $T$.
  • troisqua
    Modifié (August 2023)
    Tous ces "paradoxes" reposent sur la même idée 
    D'abord on cherche à décrire un mouvement (fini en distance et en temps) de sorte que la description prenne une infinité d'étapes.
    Puis on laisse planer l'idée que le mouvement est soumis à l'énoncé de cette description ce qui le rendrait aussi impossible que l'énoncé total de la description.
    Alors que le mouvement "n'attend pas" d'être décrit pour se produire. Je n'ai pas l'impression qu'il soit nécessaire pour dire cela de modéliser la situation.
  • Merci Héhéhé, je pense que tu as raison.
    Jean-Louis.
  • troisqua
    Modifié (August 2023)
    J'habite à un mètre de mon travail. Je parcours un mètre par seconde mais je ne pourrai jamais me rendre à mon travail.
    En effet, pour cela je devrai parcourir la moitié d'un mètre, puis la moitié de ce qui reste, puis la moitié, puis la moitié et ainsi je n'arriverai jamais à mon travail.
    Le "je n'arriverai jamais à mon travail" ne se contredit pas par un calcul mais juste par le fait qu'il est trompeur de sous-entendre que mon déplacement est soumis à l'énoncé successif (volontairement infini) de la description donnée pour se produire. Il faudrait effectivement une infinité d'étapes de descriptions, mais ça n'a aucune espèce d'importance puisque le mouvement se fiche totalement de la description, qu'on prend un temps volontairement infini à dire, pour se réaliser (i.e1s).
    Le paradoxe d'Achille complexifie une situation pour inciter insidieusement à faire un calcul alors que celui-ci ne sert à rien puisque ce "paradoxe" utilise finalement uniquement le principe précédent.
  • JLapin
    Modifié (August 2023)
    @Jean--Louis
    En fait, si Achille est à 10m de la tortue et que la différence de vitesse est de 1m/s, Achille ne rattrapera jamais la tortue... avant 10 secondes.
    C'est le "avant 10 secondes" qui est systématiquement oublié dans la présentation du "paradoxe".
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Le "paradoxe d'Achille et de la tortue" est un exo de physique de collège où deux objets $A$ et $T$ se déplacent dans la même direction sur une même ligne droite repérée par $(O; \vec i)$aux vitesses respectives $2v$ et $v$ où $v$ est un nombre strictement positif. A l'instant $T=0$ $A$ se trouve en $0$ et $T$ se trouve en $O+\vec i$. Un calcul simple montre que $A$ et $T$ se croisent à $T=1$ en $O+2\vec i$ (et à aucun autre instant).
    Maintenant la comptine usuelle décrit des nombres réels $(x_n)_{n\in \N}$ tels que pour tout entier $n$, $x_n < 1$ (prouvable avec une somme géométrique sans mention de limite). Ainsi, pour tout entier $n$, $A$ et $T$ ne se sont jamais croisés à une date comprise entre $0$ et $x_n$.
    Comme $\{x_n\mid n \in  \N\}$ est infini, les gens poussent des hauts cris en proclamant la fin de la logique et de la raison alors ma question est : comment en 2023 ce même (à l'attention de la modération: le mot "mème" est ici employé dans ce sens: https://fr.wikipedia.org/wiki/Mème_Internet . Il prend un accent grave -ce que j'ignorais- mais pas circonflexe!) épouvantable à survécu ??? Je n'ai JAMAIS compris pourquoi les gens font une montagne de ça.

    EDIT: grillé par @Héhéhé

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • troisqua
    Modifié (August 2023)
    Réponse: parce qu'il n'est toujours pas clair pour certains qu'il n'y a pas de calcul ni de math à faire pour comprendre la supercherie. Il s'agit de faire croire que le mouvement attendrait l'énoncé des étapes d'une de ses descriptions possibles, pour se produire. La présentation amenant le problème vers une soi-disant (*) nécessaire modélisation, on y met souvent des notions de math de L1 (les séries) en passant à côté du principe de la supercherie qui est bien plus élémentaire que ça.
    Pour répondre à tous ces "paradoxes" il suffit de dire qu'un mouvement n'attend pas d'être décrit (si possible en une infinité d'étapes) pour se produire (en un temps fini).
    (*) merci @jelobreuil ;)
  • Héhéhé
    Modifié (August 2023)
    C'est sympa de répéter exactement ce que j'ai dit haha.
  • @troisqua Jamais vu une excuse aussi pourrie pour pas aller taffer.
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Ben314159
    Modifié (August 2023)
    Salut,
    Perso., ma vision du bidule, c'est la même que JLapin : 
    Vu le protocole employé, il est parfaitement exact que Achille ne rejoint jamais la tortue. 
    Mais il est aussi parfaitement exact qu'avec ce protocole, le temps ne dépasse jamais une certaine borne.
    Donc le résultat (Achille ne rejoint jamais la tortue) est on ne peut plus correct, modulo de préciser qu'on se place dans un contexte où le temps ne dépasse jamais une certaine valeur.
  • @Ben314159 : Quand on cherche à décrire un phénomène en une infinité d'étapes, on n'a jamais terminé la description du phénomène. La description du phénomène (qui prend alors un temps infini) n'est pas le phénomène lui-même (qui peut prendre un temps fini ou non, peu importe).
  • Ben314159
    Modifié (August 2023)
    Personnellement, je suis comme les anciens, c'est-à-dire que de parler d'un "phénomène en une infinité d'étapes", je ne vois pas ce que ça peut signifier.
    Autant de manipuler l'infini lorsque j'ai une définition précise de ce que l'on entend par là, par exemple la définition des limites avec des epsilon ou de celle du compactifié d'Alexandrov, ça ne me gène absolument pas.  Autant la tendance moderne à utiliser ce terme comme s'il s'agissait de quelque chose de "banal" me choque profondément (*)
    Donc en ce qui me concerne, dans le paradoxe d'Achille, je persiste (et je signe) : je n'y vois pas (et je ne verrais jamais) la "description d'un phénomène qui prend un temps infini" pour reprendre ton expression.

    (*) Il n'y a qu'à voir le nombre de débutants en math. complètement ébahis par le coup du  0.9999... avec une infinité de 9 qui ne comprennent pas, dés le départ, que de mettre une infinité de quoi que ce soit où que ce soit, ça n'a bien évidement pas le moindre sens concret et que ça ne peut se manipuler qu'avec une définition parfaitement rigoureuse de ce que l'on entend par là (en l’occurrence la notion de limite pour 0.99999... )
  • Cyrano
    Modifié (August 2023)
    Ça rejoint une discussion d'un autre fil.
    Les grecs se servaient de ces "paradoxes" pour justifier l'acceptation de l'infini potentiel mais le rejet de l'infini actuel.
  • troisqua
    Modifié (August 2023)
    @Ben314159 : "parler d'un "phénomène en une infinité d'étapes", je ne vois pas ce que ça peut signifier."
    C'est pourtant ce que fait le "paradoxe" que tu cherches à comprendre. C'est aussi ce qu'on fait quand on dit par exemple (désolé pour la répétition) :
    J'habite à un mètre de mon travail. Je parcours un mètre par seconde mais je ne pourrai jamais me rendre à mon travail.
    En effet, pour cela je devrai parcourir la moitié d'un mètre, puis la moitié de ce qui reste, puis la moitié, puis la moitié etc. Ainsi je n'arriverai jamais à mon travail.
    L'infini dont on parle c'est le mot "etc" qui suggère que, la description ne s'arrêtant jamais, le phénomène lui-même ne s'arrêterait jamais non plus. La supercherie utilisée par ce "paradoxe" c'est précisément ça.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.