Le maire 5+1

Domi
Modifié (August 2023) dans Géométrie

Bonjour à tous  :)
Je prolonge l’initiative de Paul sur le fil https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2335322/points-remarquables-dans-un-carre pour essayer de désosser un peu le problème du maire. Je reste sur le sous-forum géométrie qui semble plus réactif.

Rappel du problème : n+1 points sont placés dans un carré de côté 1 et l’un d’eux est le maire. Celui-ci veut réunir tout le monde chez-lui et dans ce but entreprend une marche afin de prévenir chacun. Toute personne avertie peut se rendre directement chez le maire ou aller prévenir d’autres gens qui suivront la même démarche. Le jeu s’arrête quand tout le monde est arrivé chez le maire. Quitte à échanger les rôles, on peut supposer que le maire est le dernier à rentrer chez-lui. Quelle distance aura-t-il parcourue dans le pire des cas ? On suppose bien sûr que chacun se déplace à la même vitesse et agit au mieux des intérêts de tous.

Jusqu’à 4+1 points, le problème est réglé, qu’en est-il pour 5+1 ? Il me semble que la situation suivante illustre simplement le problème :
Merci d'avance pour la participation, Domi

Réponses

  • Domi
    Modifié (August 2023)
    Pour ne pas laisser le problème trop ouvert, quelqu'un voit-il une situation où le maire parcourt plus de $2\sqrt{2}$ ?
    Domi
  • Si ils sont dans les 4 coins, je trouve 2+sqrt(2)
  • Domi
    Modifié (August 2023)
    En effet et c'est vrai pour tout $n+1$ avec $n\geq 5$. Peut-on faire pire ?

    Domi
  • Domi
    Modifié (August 2023)

    Une proposition pour faire avancer le débat. En plus des quatre coins, j’ai placé deux des points $X_{176}$ repérés par Ludwig dans le développement de Paul. Comment le maire peut-il parcourir au maximum $2+\sqrt{2}$ ? 
      

    Domi
  • Zgrb
    Modifié (August 2023)
    J'appelle les points du carré MABC dans le sens horaire, et les deux autres D et E de haut en bas
    Je dirais qu'il faut faire 
    MD
    Puis 
    DA (puis les 2 rentrent en M) et DE
    Puis EB et EC
    Et chacun rentrent en M
    Le maire a mis sqrt(2) + une longueur comprise entre sqrt(2) et 2, qui dépend de la position précise de D et E.
  • Domi
    Modifié (August 2023)
    C'est juste, après comment généraliser ?

    Domi
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