Ensemble d’involutions

artjozp
Modifié (August 2023) dans Fondements et Logique
Bonsoir,

pour un ensemble E fini de cardinal n >= 1, on note T(E) l’ensemble des involutions de E. (f telle que fof=id)
L’objet de la question est de montrer que T(E) est fini, j’ai saisi la subtilité des involutions : pour tout a de E, si f(a) =! a et que f(a) = c un autre élément de E distinct de a, il découle que a et c forment une sorte de couple, un 2-cycle parmi les n éléments de E puisque f(c) = a pour respecter la propriété de l’involution. Mais comment montrer de manière mathématique que T(E) est fini grâce à ça ? En trouvant un nombre d’involutions fini qui dépend de n ?
Merci. 

Réponses

  • Une involution est une application et il y a $n^n$ applications de $E$ dans $E$.
  • Le nombre d’applications d’une ensemble fini dans lui même est-il fini ou infini ?
  • Bonjour
    Toute $f\in{}T(E)$ est telle que $f\circ{}f=\mathrm{id}_E$, de sorte que $f$ est naturellement bijective, donc est une permutation de $E$, i.e. un élément de $\mathfrak{S}(E)$. Ainsi obtient-on le fait incontestable que $T(E)$ est inclus dans $\mathfrak{S}(E)$, donc provisoirement que $\mathrm{Card}(T(E))\leqslant{}n!\leqslant{}n^n$. Le résultat est presque évident.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2023)
    La réponse de @Math Coss est parfaite et suffisante. Si on veut aller plus loin, il est facile de montrer que 
    $T_0 = 1$
    $T_1 = 1$
    ...
    $T_n = T_{n-1} + (n-1)T_{n-2}$
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Chaurien
    Modifié (August 2023)
    Involutions, évaluation - 08/05/2016
    Suites en U(n2) U(n1) (n1)U(n) - 23/11/2020
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2132040
  • On peut aussi voir : A000085 - OEIS
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Chaurien
    Modifié (August 2023)
    Certes. C'est signalé dans la troisième ligne de
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1266887
  • Bonsoir,
    un grand merci pour vos réponses,
    en effet il semble plus simple d'utiliser la majoration dans ce cas de figure.
    Merci également Chaurien et Médiat_Suprème pour les approfondissements.
  • Et est-il possible de montrer qu'il existe une bijection entre deux ensembles, non égaux, de même cardinal sans passer par une indexation des éléments de l'ensemble de départ ou d'arrivée? 
  • artjozp : bonsoir. Des ensembles distincts $E$, $F$ ayant même cardinal sont équipotents, i.e. de manière équivalente, il existe une bijection $f$ de $E$ sur $F$. Cela dit, remarquons que, pour tous $\varphi_E\in\mathfrak{S}(E)$ et $\varphi_F\in\mathfrak{S}(F)$, $g=\varphi_F\circ{}f\circ\varphi_E$ est encore une bijection de $E$ sur $F$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Exemple élémentaire :
    Soient $E$ et $F$ deux ensembles dénombrables, sont-ils équipotents ? 
    Dire qu’ils sont dénombrables signifie qu’il existe une application bijective $e$ de $E$ dans $\mathbb N$ et une application bijective $f$ de $F$ dans $\mathbb N$. 
    On peut alors démontrer qu’il existe une bijection de $E$ dans $F$. C’est trivial mais ça se rédige. Et ce sont les théorèmes d’existence qui permettent de répondre à cette question. 
  • JLapin
    Modifié (August 2023)
    artjozp a dit :
    Et est-il possible de montrer qu'il existe une bijection entre deux ensembles, non égaux, de même cardinal sans passer par une indexation des éléments de l'ensemble de départ ou d'arrivée? 
    Oui. Il suffit d'exhiber une telle bijection. Par exemple, l'application qui à une partie $A$ de $E$ associe la fonction indicatrice $1_A:E\to \{0,1\}$ est une bijection entre l'ensemble $P(E)$ et l'ensemble ${\{0,1\}}^E$.
    Pas besoin d'énumérer les éléments de $P(E)$ pour le montrer (d'ailleurs, il est inutile de supposer que $E$ est fini...).
  • Martial
    Modifié (August 2023)
    J'en rajoute une couche. Une alternative, surtout pour des ensembles non dénombrables, consiste à utiliser le théorème de Cantor-Bernstein. Par exemple, pour montrer que $\mathbb{R}$ et $\mathscr P(\mathbb{N})$ sont équipotents on construit une injection de l'un dans l'autre et vice versa. Le théorème nous fournit alors l'existence d'une bijection, mais il faudrait se casser grave la tête pour l'expliciter proprement.
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