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Opérateur linéaire-intégral borné de Bochner

Modifié (August 2023) dans Analyse
Salut, 
Soit $A$ un opérateur linéaire et continu.
Est-ce que cette égalité vraie ?
$ \displaystyle A(\int_a^bg(x)dx)=\int_a^bA(g(x))dx $
tel que $a,b$ sont des constantes.
Mots clés:

Réponses

  • Opérateur d'où à où ? Comme $A$ semble manger des réels et renvoyer des réels, on a $A(u)=ku$ pour $k$ convenable fixé et $u$ quelconque, auquel cas le résultat est trivial. Tu dois vouloir dire autre chose. 
  • @Math Coss d'un espace vectoriel normé vers un autre 
  • Si $A : E \longrightarrow F$ est un opérateur linéaire continu entre deux espaces de Banach, et si $g : [a,b] \longrightarrow E$ est intégrable au sens de Bochner, alors $Ag$ est également intégrable au sens de Bochner, et on a bien
    $$ A \int_a^b g(t)\,\mathrm dt = \int_a^b Ag(t)\,\mathrm dt $$ Ça reste vrai si tu considères des intégrales faibles (d'après Hahn-Banach).
  • Et $g$ alors ?
  • Modifié (August 2023)
    @Math Coss de $[a,b]$ dans E espace vectoriel.
    L'intégrale ici est au sens de Bochner.

    $A:E \rightarrow F$
  • @SkyMtn Existe-t-il une référence pour cette propriété? j'ai beaucoup cherché mais pas trouvé
  • Modifié (August 2023)
    Est-ce que cette égalité est aussi vraie?

    Pour l'intégrale de Bochner
    $ \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}g(x,t)dx=\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial}^{\partial t}g(x,t) +b'(t)g(b(t),t)-a'(t)g(a(t),t)$
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