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La définition d'équicontinue

Modifié (August 2023) dans Analyse
Salut
Soit $A$ un sous-ensemble de $C(I,E)$, $ A=\{ f_\delta \mid \delta \in B\}. $ On dit que $A$ est équicontinue ssi
Définition 1
$ \forall t_1 \in I, \ \forall \epsilon >0 ,\ \exists \eta >0,\  \forall \delta \in B, \ \forall t_2\in I ,\quad |t_1-t_2|<\eta \Rightarrow \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E<\epsilon$.
Définition 2
$  \forall t_1, t_2 \in I$, tel que  $\displaystyle t_1<t_2,\ \lim_{t_1 \rightarrow t_2}\sup_{\delta \in B} \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E=0$.
Est-ce que ces définitions sont équivalentes ?
Mots clés:

Réponses

  • La définition $2$ n'a pas de sens puisque prendre une limite quand $t_1$ tend vers $t_2$ alors que $t_1$ est quantifié avant n'a pas de sens.
  • Modifié (August 2023)
    @Poirot
    $ \forall t_2 \in I$,  $\displaystyle \lim_{t_1 \underline{\rightarrow}{<} t_2}\sup_{\delta \in B} \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E=0$.

    Et maintenant?
  • Modifié (August 2023)
    Non elles ne sont pas équivalentes. Le seconde pourrait être appelée "équicontinuité à gauche". Regarde ce qu'il se passe par exemple avec la famille des fonctions $t \mapsto e^{-nt} \in C([0;1])$, où $n \in \N$. Si tu enlèves la condition $t_1<t_2$ tu obtiens bien quelque chose d'équivalent.
  • Modifié (August 2023)
    @Renart
    Je ne comprends pas ce qui ne va pas avec ton exemple.
    $$  \lim_{t_1 \rightarrow < t_2} \, \sup_{n\in \mathbb{N}} |e^{nt_1}-e^{nt_2}|= \lim_{t_1 \rightarrow < t_2} \, \sup_{n\in \mathbb{N}} e^{nt_1}-e^{nt_2}$$
  • Modifié (August 2023)
    Sauf erreur de ma part l'exemple que j'ai donné vérifie la définition 2 mais pas la définition 1. De la même façon qu'il existe des fonctions discontinues qui sont quand même continues à gauche.
  • Modifié (August 2023)
    @Renart au quel point la suite $ t \rightarrow e^{-nt}$ n'est pas équicontinuité? 
    J'ai écrit la négation de la définition d'équicontinue et j'ai arrêté je ne pouvais pas continuer
  • Besma bissan a dit :
    @Renart au quel point la suite $ t \rightarrow e^{-nt}$ n'est pas équicontinuité?
    c'est le point t=0 qui pose problème
    Le 😄 Farceur


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