La définition d'équicontinue

Besma bissan

Salut
Soit $A$ un sous-ensemble de $C(I,E)$, $ A=\{ f_\delta \mid \delta \in B\}. $ On dit que $A$ est équicontinue ssi

Définition 1
$ \forall t_1 \in I, \ \forall \epsilon >0 ,\ \exists \eta >0,\  \forall \delta \in B, \ \forall t_2\in I ,\quad |t_1-t_2|<\eta \Rightarrow \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E<\epsilon$.

Définition 2
$  \forall t_1, t_2 \in I$, tel que  $\displaystyle t_1<t_2,\ \lim_{t_1 \rightarrow t_2}\sup_{\delta \in B} \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E=0$.

Est-ce que ces définitions sont équivalentes ?

Poirot

La définition $2$ n'a pas de sens puisque prendre une limite quand $t_1$ tend vers $t_2$ alors que $t_1$ est quantifié avant n'a pas de sens.

Besma bissan

@Poirot
$ \forall t_2 \in I$,  $\displaystyle \lim_{t_1 \underline{\rightarrow}{<} t_2}\sup_{\delta \in B} \Vert f_\delta(t1)-f_\delta(t_2) \Vert_E=0$.

Et maintenant?

Renart

Non elles ne sont pas équivalentes. Le seconde pourrait être appelée "équicontinuité à gauche". Regarde ce qu'il se passe par exemple avec la famille des fonctions $t \mapsto e^{-nt} \in C([0;1])$, où $n \in \N$. Si tu enlèves la condition $t_1<t_2$ tu obtiens bien quelque chose d'équivalent.

Besma bissan

@Renart
Je ne comprends pas ce qui ne va pas avec ton exemple.

$$  \lim_{t_1 \rightarrow < t_2} \, \sup_{n\in \mathbb{N}} |e^{nt_1}-e^{nt_2}|= \lim_{t_1 \rightarrow < t_2} \, \sup_{n\in \mathbb{N}} e^{nt_1}-e^{nt_2}$$

Renart

Sauf erreur de ma part l'exemple que j'ai donné vérifie la définition 2 mais pas la définition 1. De la même façon qu'il existe des fonctions discontinues qui sont quand même continues à gauche.

Besma bissan

@Renart au quel point la suite $ t \rightarrow e^{-nt}$ n'est pas équicontinuité? 
J'ai écrit la négation de la définition d'équicontinue et j'ai arrêté je ne pouvais pas continuer

gebrane

Besma bissan a dit :

@Renart au quel point la suite $ t \rightarrow e^{-nt}$ n'est pas équicontinuité?

c'est le point t=0 qui pose problème