Une congruence que je n'arrive pas à démontrer...

gillesR

Bonjour,
Savez-vous démontrer par récurrence que si $p$ est un nombre premier et si $k \in \N$, on a $$(1+p)^{p^k} \equiv 1 + p^{k+1} \ \ \ [p^{k+2}]\quad?$$
Merci.

ev

Bonsoir Gilles.

Oui.

Tu peux utiliser la formule du multinôme (avec multi = 3).

e.v.

Math Coss

Je partirais de $(1+p)^{p^k}=1+p^{k+1}+ap^{k+2}$ et j'élèverais à la puissance $p$. Sans doute est-on amené à utiliser que $\binom pj$ edt divisible par $p$ si $1<j<p$.
Edit : comme le multinôme est trop savant pour moi, je développerais en deux temps en regroupant d'abord $1+p^{k+1}$.

jandri

C'est faux pour $p=2$ car pour $k\geq1$ on a $(1+2)^{2^k} \equiv 1 + 2^{k+2}\pmod {2^{k+3}}$

C'est vrai pour $p$ premier impair, on peut le montrer par récurrence avec la méthode proposée par Math Coss.

On commence à le montrer pour $k=1$ en utilisant le fait que $p$ est impair puis on applique la formule du binôme en utilisant $(p^{k+1}+ap^{k+2})^j\equiv 0 \pmod  {p^{k+3}}$ pour $j\geq2$ et $k\geq1$.

gillesR

Merci !

ev

Math Coss a dit :

comme le multinôme est trop savant pour moi, je développerais en deux temps en regroupant d'abord $1+p^{k+1}$.

T'as pas le droit de me faire rire. Quand on m'aura enlevé les agrafes que j'ai sur le bide on pourra discuter. En attendant c'est formellement interdit.

e.v.

[ Bien sûr tu as raison : $(1+p)^{p^k}=1+p^{k+1}+ap^{k+2} = 1+p^{k+1} (1+ap)$ et rhan et rhan. ]