Paradoxe de l'infini

Jean--Louis
Modifié (August 2023) dans Fondements et Logique
Bonjour
Il n'y a pas que le Néant qui m'obsède, l'infini aussi. Par exemple il est bien connu que un segment est équipotent à une droite complète. Cela se montre visuellement en traçant la droite, le segment (parallèle) et un point hors des deux. Etc. Mai si on fait glisser le segment sur la droite, chaque point du segment correspond à un point de la droite et réciproquement. Moi j'y vois un paradoxe, mais vous avez sûrement quelque chose à me dire qui contredit cette intuition.
Cordialement.
Jean-Louis.
[Peux-tu te relire avant d'envoyer, de façon à corriger les typos. Merci. AD]

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    « est équipotent à » signifie « est en bijection avec »
  • Jean--Louis
    Modifié (August 2023)
    Oui et alors ?
  • Un ensemble $X$ est infini si et seulement si il existe une fonction $f$ de $X$ dans $X$ injective et non surjective.
    En fait l'infini est déjà un paradoxe en soi.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Le tout en bijection avec la partie, c'est ça qui te semble paradoxal ? Pas besoin d'aller chercher le continu, cela existe déjà avec $\N^*$ dans $\N$ ou $\N$ dans $\Z$ ou...
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    « Et alors » ça ne va pas créer des problèmes. Juste une définition banale. 
    As-tu déjà un problème quand on dit « il y a autant de nombre entier que de nombres pairs » ?
  • Oui j'avoue que ça me met mal à l'aise. Après quand j'enfile ma blouse de matheux, je m'en fiche complètement. Mais en tant qu'être humain ça m'interpelle...
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2023)
    Un problème que j'ai souvent constaté est de projeter l'intuition que l'on a dans le cas fini, au cas infini, et c'est toujours une mauvaise idée.

    Ne vous blâmez pas, Cantor lui-même, après avoir démontré qu'un carré a le même nombre d'éléments (*) qu'un de ses côtés, écrivit à Dedekind : "Je le vois, mais je ne le crois pas" .

    (*) Voilà un exemple où l'intuition que l'on en a dans le cas fini, ne se prolonge pas au cas infini.

    Prolégomènes à toute tentative future de définition du « nombre d’éléments » d’un ensemble. (futura-sciences.com)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • nicolas.patrois
    Modifié (August 2023)
    Déjà Galilée avait vu le problème en remarquant qu’il y a autant de nombres que de carrés.
    Et encore avant, les paradoxes de Zénon n’étaient pas faits pour montrer l’impossibilité du mouvement mais pour se méfier de l’infini.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Du coup être mal à l’aise sans la casquette du matheux, on s’en fiche. 
  • Un peu dans la même veine, il me semble qu'on a le choix entre rester au niveau intuituf et être éventuellement en proie au vertige et à l'erreur, ou bien aller dans des définitions mathématiques avec lesquelles il n'y a plus (tant) de place pour le vertige ou l'erreur. Partant sur la deuxième attitude, on peut à la David Bessis "hacker son intuition" pour l'accorder aux faits qui decoulent des définitions précises -- il y a des faits et l'imagination est canalisée.
  • L'infini n'est pas vraiment réel, des nombres tels que $9^{99^{999^{9999}}}$ ne pouvant correspondre à aucune expérience physique (le nombre estimé d'atomes de l'univers observable étant environ à $10^{80}$ et le temps de Planck à $5.39 \times 10^{-44}$, on ne pourrait même pas épeler la liste des chiffres de son exposant depuis l'âge estimé de l'univers à raison d'un tous les temps de Planck). L'infini est une invention de l'homme, ce qui ne veut pas dire qu'il faille y renoncer dans les mathématiques (ça les rendrait juste inutilisables, même les systèmes formels inventés par les pires ultrafinitistes décrivent une collection infinie de nombres et ne peuvent se permettre l'introduction d'un maximum sur les nombres entiers sous peine d'être une blague, voyez Nelson/Zeilberger etc; ils se contentent de limiter la gamme des axiomes autorisés).
    C'est juste que l'infini est une invention de l'esprit de l'homme, extrapolant des intuitions sur des quantités qui peuvent être des idéalisations, pour prouver des résultats sur des petites quantités ou des objets bien concrets.

    Il n'y a pas de raison de s'émouvoir plus que ça d'un hôtel idéalisé infini (non physique: il aurait quelle masse etc), qui est au fond la formulation réthorique d'un concept mathématique. C'est comme avec Banach-Tarski: L'objet géométrique envisagé n'est de toute façon pas physique et le qualifier d'orange dépasse largement le stade de l'abus de langage (il y avait une critique virulente de Feynman sur cet exemple).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Math Coss
    Modifié (August 2023)
    Dans cet esprit, ce qui me paraît étonnant, c'est l'usage de l'infini ou mieux de l'arithmétique des infinis, pour démontrer des résultats "complètement finis". Le théorème de Goodstein sur les suites éponymes est un exemple. Il y en a un autre avec les "tables de Laver", que feu Patrick Dehornoy semblait bien apprécier, mais j'ai oublié de quoi il s'agit.
    Edit : ça : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Talks/DysShort.pdf.
  • Foys a dit : L'infini est une invention de l'homme, 
    Ne peut-on pas dire la même chose de tous les concepts mathématiques, y compris $1$ ou $0$ ? (que l'on soit platonicien ou non)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

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  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Médiat_Suprème
    Il y a vraiment un saut conceptuel avec l'infini et une perte graduelle d'applicativité pour les entiers à mesure qu'ils deviennent très grands. $1$ ou $0$ sont impliqués dans des expériences très très concrètes et reproductibles. L'interlocuteur qui doute de $2+2<5$ à le droit d'examiner ma proposition d'échanger des quantités abondantes de paires de mes pièces de 2 euros contre ses billets de 5 euros (s'il refusait je lui demanderais pourquoi).
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2023)
    Évidemment, je suis d'accord sur le saut conceptuel, je n'ai pas choisi $1$ et $0$ par hasard, il a fallu attendre le XVI$^\text{ième}$ siècle pour que $1$ soit considéré comme un nombre, avec, d'ailleurs, un argument qui, littéralement, refuse ce statut à $0$ : 

    Si de $3$ on ne soustrait aucun nombre, $3$ reste inchangé, si de $3$ on soustrait $1$, $3$ est changé donc $1$ ne peut pas ne pas être un nombre.
    (Simon Stevin)
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

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  • Cyrano
    Modifié (August 2023)
    À cet égard on peut faire une distinction (comme le faisait les anciens philosophes) entre infini potentiel et infini actuel. 
    Les cardinaux infinis tels que $\aleph_0, \aleph_1$ etc. sont des infinis actuels. On considère "d'un coup d'un seul" une collection infinie. 
    A contrario la notion d'infini potentiel signifie plutôt qu'on peut développer une machinerie ou un algorithme où il est possible d'aller "aussi loin que l'on veut". 
    Par exemple je peux étudier les entiers naturels de façon purement potentielle, simplement en comprenant que j'ai toujours le droit de faire $+1$, ce processus n'étant pas contraint de s'arrêter. En revanche, rien ne m'oblige à aller vers l'infini actuel et d'étudier $\aleph_0$ en tant que tel.

    La position philosophique classique en Europe, me semble-t-il, est que l'infini potentiel existe réellement dans le vrai monde (penser au "futur") alors que pour l'infini actuel, les choses sont beaucoup moins claires.
  • Nous ne pouvons pas comprendre ni le néant ni l'infini. Il y a des choses qui nous échappent.
  • Disons simplement que l'infini potentiel est plus simple à conceptualiser. J'ai du mal avec la notion d'objets mathématiques qui existent dans le vrai monde, surtout avec les mots en gras
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Le néant n'étant pas un objet mathématique, je ne vois pas ce qu'il fait en compagnie de l'infini, des infinis, qui, comme tous les objets mathématiques, se comprennent (plus ou moins facilement) par leur définition.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Disons simplement que l'infini potentiel est plus simple à conceptualiser. J'ai du mal avec la notion d'objets mathématiques qui existent dans le vrai monde, surtout avec les mots en gras
    Les ordinateurs existent-ils (sous forme d'automate fini si les machines de Turing sont jugées problématiques) ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je ne comprends pas votre remarque, j'écris que j'ai du mal avec les mots "exister", "vrai" et "monde" et surtout "vrai monde" concernant les objets mathématiques et vous me répondez que les ordinateurs existent, vous auriez, sans doute, pu aussi me dire que des tas de $2$ pommes existent, bien que $2$ soit jugé problématique ; qu'à partir de concepts purement intellectuels, on puisse avoir une action sur le "concret" je n'en doute absolument pas, cela ne rend pas les concepts initiaux plus concrets.

    J'ai peut-être mal interprété votre remarque...
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

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  • Georges Abitbol
    Modifié (August 2023)
    Jean-Louis : Je suis tout à fait d'accord avec le premier message de Foys ci-dessus.
    C'est un peu la même chose que l'histoire de l'hôtel de Hilbert, mais j'avoue que ça me "fait quelque chose" de me dire que quand des humains s’assoient sur une chaise et que deux humains différents ne sont jamais sur la même chaise, le nombre de chaises non occupées ne dépend pas de l'arrangement quand tout est fini, mais en dépend énormément pour des ensembles infinis. En formules (pour qu'on soit sûres et sûrs de s'être comprises et compris), ce que je voulais dire, c'est qu'en notant $Inj(X)$ l'ensemble des injections de $X$ dans $X$, alors l'application $f \in Inj(X) \mapsto card\left(X \setminus f(X)\right)$ est constante (égale à $0$) pour $X$ fini, et pas du tout constante pour $X$ infini.
  • Tiens. Je tombe un peu par hasard sur ce document là. 
  • Il manque cruellement : Un ensemble est fini si et seulement si toute famille non vide de ses parties admet un élément minimal pour l'inclusion.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Imaginons qu'il existe un entier M plus grand que tous les autres. Alors M=M+1, donc 0=1, notre esprit s'y refuse. Nous n'avions pas le choix de créer l'infini.
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    L'infini crée plein de petits paradoxes amusants: en voici un (en gros l'analyse non standard vient bousculer un peu certaines idées confortables).
    On considère l'arithmétique de Peano. On prend un nouveau symbole de constante $c$ (techniquement le seul symbole de constante dans Peano est le $0$). On considère l'ensemble $B$ de tous les énoncés de la forme $c > SSSS ... S0$ où $S$ est répété autant de fois que l'on veut ("$S$" déigne le successeur: $\forall x, Sx = x+1$ est un axiome de Peano). On considère la théorie $PA':= PA \cup B$: c'est l'arithmétique de Peano à laquelle on a ajouté tous les éléments de $B$. Soit $F$ un énoncé qui ne contient pas la lettre $c$ et qui est démontrable dans $PA'$. Alors $F$ est démontrable dans $PA$ ordinaire, en effet: comme une preuve est un texte fini, il n'y a qu'un nombre fini d'invocation d'axiomes$A_1,...,A_{\mathbf k}$ de $B$ employés dans cette preuve. Soit $\mathbf M$ le plus grand nombre de symboles $S$ qui apparaît dans les $(A_i)_{1 \leq i \leq \mathbf k}$: les nombres en gras désignent des vrais entiers explicites qu'on peut compter en lisant le texte de la preuve, par exemple $\mathbf M = 232$.
    Alors on remplace dans toute la preuve la lettre $c$ par $\mathbf M+1$ (ex: 233) et on obtient une preuve de $F$ (qui n'est pas changé car $c$ n'apparaît pas dans $F$) dans Peano ordinaire puisque tous les $A_i$ deviennent après transformation des théorèmes de Peano. 

    Autrement dit on a introduit un "entier $c$ plus grand que tous les entiers qu'on peut écrire" sans changer l'ensemble des résultats prouvables qui ne mentionnent pas $c$, en particulier $PA'$ est contradictoire si et seulement si $PA$ l'est (c'est l'exemple le plus simple que je connaisse d'analyse "non standard").
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (August 2023)
    Un de mes "paradoxes" préférés (paradoxe dans la mesure où il heurte le sens commun).

    Soit une ligne de train infinie dont les gares sont numérotées 0, 1, 2, etc. Le train parcours cette ligne en mettant 1mn entre la gare 0 et la gare 1 (y compris le temps pour les voyageurs de monter ou de descendre) ; 30s entre la 1 et la 2, etc. (il double sa vitesse à chaque gare) au bout de 2 minutes il ne peut être dans aucune des gares dont le n° est un entier, il est dans une gare que nous appellerons $\omega$.

    Là où cela devient fun c'est que dans chaque gare dont le n° est entier, 10 voyageurs montent dans le train et 1 seul en descend.
    Combien y a-t-il de voyageurs dans le train à la gare $\omega$ ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    @Médiat_Suprème  Ce ne serait pas drôle si on ne pouvait pas attribuer à chaque voyageur un numéro unique tel qu'à la gare $n$ ce sont ls voyageurs $10n+1,\dots,10n+10$ qui montent et le voyageur $n$ qui descend (comme ça tout le monde descend à un moment où à un autre).


    je cache l'indication pour l'exo de @Médiat_Suprème en spoiler comme ça les lecteurs qui ne l'ont pas vue peuvent s'amuser.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je savais que vous auriez une bonne réponse (au moins), si vous voulez bien, laissons les gens gênés par l'infini en chercher d'autres.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

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