Maximum

jeremyjeff

Bonjour,
Je sèche sur le problème suivant
Étant donné a,b,c trois réels positifs vérifiant:
(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=10, trouver le max de (a+b)/c
Je ne sais pas quoi utiliser : inégalités triangulaires, identités remarquables, encadrement...
Pouvez vous m'indiquer des pistes ?
Merci 

lourrran

On peut remarquer que si on a un triplet (a,b,c) qui vérifie la contrainte (a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=10, alors n'importe quel autre triplet (ka,kb,kc) convient aussi, et le ratio (a+b)/c devient (ka+kb)/kc, il est inchangé.
Ce qui nous intéresse, ce ne sont donc pas les valeurs de a,b et c, mais les proportions entre a, b et c.
Et on peut en fait fixer une des valeurs, on peut imposer a=1, ou mieux ici, on peut imposer c=1.

Du coup, l'exercice devient : étant donné 2 réels $a$ et $b$ positifs vérifiant $(a+b+1)(\frac 1a+ \frac 1b+1)=10$,trouver le max de $a+b$.

Chaurien

Avec cette simplification de lourran, on observe que l'égalité : $(x+y+1)(\frac 1x+ \frac 1y+1)=10$ est l'équation d'une cubique qui a 4 branches, dont une seule dans $(\mathbb R_+^*)^2$ (merci WolframAlpha ). Cette branche est une courbe fermée ayant la première bissectrice $y=x$ pour axe de symétrie. Le maximum et le minimum de $x+y$ dans ces conditions sont « donc » atteints pour $x=y$, d'où $x=y=2$ pour le maximum et $x=y=\frac 12$ pour le minimum. 

J'ai mis « donc » entre guillemets parce que je suis bien conscient que ce raisonnement est un peu boiteux, mais c'est peut-être une piste.

LOU16

Bonjour,

Il s'agit en effet de déterminer le maximum de $A=a+b\:$ lorsque $\:(a+b+1)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+1\right) =10,\:\:a,b>0\:\:(\bigstar).\:\:$ Notons $B=ab.$

$(\bigstar) \iff (A+1)(A+B)=10B,\:\:A,B>0 \:\iff B=\dfrac {A(A+1)}{9-A}, \:\:0<A<9.$

$a$ et $b\:$ sont les solutions positives de l'équation $\:X^2-AX+B=0,$  dont le discriminant est $\Delta=A^2-4B=\dfrac{A(4-A)(A-1)}{9-A}.$

La plus grande valeur de $A\in ]0;9[$ pour laquelle $\Delta\geqslant 0$ est $A=4.$

Le maximum de $\dfrac{a+b}c$ recherché est donc égal à $4$. Il est atteint lorsque $a=b=2c .$

YvesM

Bonjour,
Pour $a,b,c>0$ tels que $(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=10$ on cherche les maximum de $(a+b)/c.$

La fonction et la contrainte sont symétriques en $a,b$, le maximum est donc atteint pour $a=b=x, c=y.$

On calcule $(2 x+y)(2/x+1/y)=2x/y+2y/x=5$ qui est une équation du second degré en $t=2x/y$ dont la plus grande racine est $t=4$ ou encore $x=2y$ ou encore $a=b=2c.$

LOU16

Bonjour,

"La fonction et la contrainte  sont symétriques en $a$, $b$ , le maximum est donc atteint pour $a=b$".

Rien compris à ce "donc" de @YvesM" certes ici très confortable, mais qui, comme en témoigne l'exemple qui suit,  me semble singulièrement  dépourvu de rigueur: soit $f: (a,b)\longmapsto a+b +(a-b)^4-2(a-b)^2.\:\:$

$f$ est symétrique en $a,b$ et le maximum de $a+b$  lorsque $f(a,b) =0$ n'est pas atteint lorsque $a=b.$.

YvesM

Bonjour,

La fonction en $a, b,c$ s’écrit selon $a+b+c, ab+bc+ca, abc$ et le théorème $uvw$ s’applique… Mais c’est vrai que je n’ai pas donné tout le raisonnement qui est trop long à déduire quand on ne connaît pas cette méthode. J’ai donc pris un raccourci avec le « donc ». 

LOU16

Re,

Toujours  rien compris. La fonction  (à deux variables) que j'indique "s'écrit également selon $a+b,, ab$". Quel est donc clairement ce théorème $uvw $ dont on apprend maintenant que tu l'utilisais sans le mentionner?

D'autre part , tu semblais parler d'une fonction à $2$ variables $a$ et $b$ ,et dans le message suivant, tu évoques une fonction symétrique en $a,b,c$ à laquelle tu es censé appliquer $uvw$. Je suis vraiment paumé.

nicolas.patrois

Peut-être ça : https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/ ?

LOU16

Merci nicolas.patrois

Je ne vois dans les exemples qui sont fournis, que des situations où il s'agit de déterminer le maximum ou le minimum de $g(a,b,c) $ lorsque $f(a,b,c)=0$ où $f$ et $g$ sont symétriques en $a,b,c$, et cela ne correspond pas au problème  à l'origine de ce fil.

YvesM

Bonjour,

On pose $x=a/c, y=b/c, z=c/c=1$, on cherche les maximum de $x+y$ qui est déduit du maximum de $x+y+1=x+y+z.$

La contrainte est $(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=10$. 

La fonction à optimiser est $u$, la contrainte est $uv-10w=0.$

Comme la dérivée de $u$ par rapport à $u$ est strictement positive, l’optimum est obtenu quand (au moins) deux variables sont égales. On calcule pour $x,x,1$ et $x,1,1$ puisque $1,1,1$ ne satisfait pas la contrainte. 

$(2 x+1)(2/x+1)=10$ dont les solutions sont $1/2$ et $2$. En $1/2$, la fonction vaut $2$, en $2$ la fonction vaut $5$ et donc le maximum $x+y$ vaut $4.$

$(x+2)(1/x+2)=10$ dont les solutions sont également $1/2$ et $2$…

LOU16

Rebonjour
Je suis désolé, mais  je ne comprends toujours rien.
Peux-tu écrire clairement le théorème utilisé  pour obtenir la conclusion contenue dans la quatrième ligne ?

YvesM

Bonjour,

Quand on cherche l’extremum de la fonction $f(u,v,w)$ sous la contrainte $g(u,v,w)=0$ avec $u=a+b+c, v=ab+bc+ca, w=abc$, alors si $df/du$ est strictement monotone, l’extremum est atteint lorsque deux variables $a,b,c$ sont égales. De même pour $df/dv$. Pour $df/dw$ on ajoute le cas où une varible est nulle. 

C’est le théorème $uvw$ qui se démontre en notant que si $u$ est extrémale sous la contrainte $v,w$ constantes, alors deux des variables sont égales. De même si $v$ est extrémale sous la contrainte $u,w$ constantes, alors… Il fait aussi démontrer que pour tout $a,b,c$ on a $u,v,w$ et la réciproque est vraie si $u,v,w$ vérifient des contraintes.