Contrat à terme et futures

chris_51000

Bonjour
Je me permets de vous interroger sur la question 4 de l'exercice suivant. Je recopie l'entièreté de l'énoncé afin de vous donner une vision globale.

Soit FW(0,T) le prix à terme d’un contrat forward standard portant sur une action de prix
àS(0) et expirant en T.
La valeur du contrat forward à sa signature est nulle. Le payoff en T du contrat forward
signé en 0 est S(T) – FW(0,T). Aucun autre cash flow n’intervient entre 0 et T.
Le taux sans risque le plus court-terme en temps continu r(u) est aléatoire et évolue
dans le temps u.
Il existe une probabilité risque neutre P.
1) Exprimer le money market account M(0,t) démarrant en 0 et relevé en t en fonction
de r aléatoire.
de r aléatoire.
2) Par évaluation risque neutre utilisant M, exprimer le prix B(0,T) en 0 d’une obligation
zéro coupon de maturité T et de nominal unitaire.
zéro coupon de maturité T et de nominal unitaire.
3) Par évaluation risque neutre utilisant M (pas par non arbitrage), établir le prix à
terme FW(0,T) en fonction de B(0,T) et S(0).
terme FW(0,T) en fonction de B(0,T) et S(0).

Un Echange lance un contrat futures en temps continu portant sur la même action de
prix S(t) et expirant aussi en T. Soit FT(t,T) le prix à terme de ce futures.
L’Echange fixe les règles standard habituelles :
_ en T le prix à terme converge vers le prix au comptant, soit FT(T,T) = S(T)
_ le futures verse algébriquement continument des appels de marge infinitésimaux
dFT = FT(t+dt,T) – FT(t,T) à son acheteur
_ aucun autre cash flow n’intervient entre t et T, en particulier aucun payoff en T
_ la valeur du futures est continument nulle
4) En remarquant que M(0,t+dt) = M(0,t)*( 1 + r(t)dt ) montrer par évaluation risque
neutre que E[ FT(t+dt,T) | Ft ] = FT(t,T) pour t quelconque < T.
5) En déduire que FT(0,T) = E[S(T)].
6) Si r est constant, à l’aide de 3) et 5) montrer que FW(0,T) = FT(0,T)

Je n'arrive pas à répondre à la question 4. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.
Merci beaucoup
Christophe

chris_51000

Sujet non inspirant ou alors ce sont les vacances peut-être

Positif

Aucune difficulté : $B(t, T) = \exp \left( -\int_t^T r(s) \mathrm{d} s \right) $ et $FT(t, T) = S(0) / B(t, T) $. 

chris_51000

merci beaucoup. toutefois, j'ai du mal a répondre en utilisant la demande :  M(0,t+dt) = M(0,t)*( 1 + r(t)dt ) pour montrer que  E[ FT(t+dt,T) | Ft ] = FT(t,T)

En effet, le facteur (1+ r(t) dt) reste au dénominateur.

J'ai effectivement trouvé cela mais pour le forward FW(t,T) = S(0) / B(t,T), par contre pour le future j'étais bloqué.