Tests statistiques unilatéraux et lois de Student décentrées

Positif

Hello @Tous ;

en parcourant mes cours de stats je me suis rendu compte qu'on parlait beaucoup de tests de la forme "Est-ce que $\mu  = \mu_0$ ?" auquel cas on a des méthodes balisées :  $T_n = \frac{\bar{X}_n - \mu_0}{S_n} $ avec $\bar{X}_n$ la moyenne empirique, $S_n$ la variance empirique et par le théoreme de Cochran on peut en déduire que sous proba $H_0$; $\sqrt{n} T_n$ suit une loi de Student.  Donc sous la mesure de probabilité définie par $H_0 = \{ \mu = \mu_0 \}$ qui est $\mathbf{P}_{ H_0 }$, je peux calculer le quantile de la loi de Student $\mathbf{P}_{H_0} ( T_n \geq \xi ) = \mathbf{P} ( t \geq \xi ) $ avec $t$ une simple variable de Student etc etc etc... On a une bonne méthodologie.

Mais comment on fait si on a des tests unilatéraux ? Notre méthodologie ne fonctionne que parce que nous avons un test bilatéral : je veux absolument que $\mu = \mu_0$ (valeur théorique prédite par mon modèle par exemple). Si je veux tester $ \{ \mu \geq \mu_0 \} $ (un seuil critique au-delà duquel je dois arrêter la production) j'ai quelle statistique de test ?
Évidemment, si vous avez la flemme d'écrire, un pdf d'une institution ou d'un prof respectable serait apprécié!
Bonne semaine !

gerard0

Bonjour.
Pour des situations gaussiennes, on utilise la même loi (Normale ou de Student), avec une hypothèse différente. Et donc des quantiles différents. On trouve ça dans tous les cours sur les stats inférentielles.

Et on prend évidemment pour H0 l'hypothèse $\mu=\mu_0$ qui est l'hypothèse nulle la pire pour décider (si on veut montrer que $\mu>2$, toute hypothèse du genre $\mu=1.5$ est moins forte que $\mu=2$. On imagine pouvoir prendre $\mu\le \mu_0$, mais ça ne donne pas d'outil pour calculer.

Cordialement.

Positif

Justement je ne veux pas forcément l'hypothèse qui serait "la pire". Si par exemple ma valeur seuil est $\{ \mu_{ \mathrm{critique} } = 2 \} $ je pourrai tester $\{ \mu = 1.9 \} $ mais en vrai mes données pourrait me donner $\mu = 1.5, \mu = 1.1$ etc... Donc je vais donc très probablement rejeter les hypothèse $\{ \mu = 2\}, \{ \mu = 1.9 \} , \{ \mu = 1.8 \} $...

gerard0

Pourquoi pas ...

J'ai enseigné les statistiques industrielles, les tests coûtent cher, on évite de les multiplier. Et comme le test limite permet éventuellement de rejeter l'hypothèse nulle en même temps que les autres que tu proposes (leurs régions de rejet contiennent celle à $\mu=2$, on évite de perdre de l'argent et du temps.

Cordialement.

Positif

Oublions le coût industriel du test. Il n’y a pas vraiment de méthodes pour rejeter les hypothèses du style $H_0 = \{ \mu \geq 2 \} $ ou $ H_0 = \{ \mu  \leq 2 \} $ , c’est ce que j’en déduis. 

Pour un test “balisé” du style $ H_0 = \{ \mu = \mu_0 \} $ on sait que la statistique $T_n =  \frac{ \bar{X}_n - \mu_0 }{ \sqrt{ \frac{S_n}{n} } } $ ne doit pas s’éloigner trop de $0$ d’où la région de rejet naturelle $ \{ |T_n| > \xi \} $; mais pour le test unilatéral ? 

gerard0

Bonjour

"Il n’y a pas vraiment de méthodes". Si, vois un cours de statistiques inférentielles.

Le test $H_0=\{\mu=\mu_0\}$ contre $\mu>\mu_0$ sert tout à fait à rejeter ou accepter l'hypothèse alternative (*).

La zone de rejet de ce test contient toutes les zones de rejet des hypothèses $H_0={\mu=t<\mu_0}$. Bien entendu, les zones de rejet sont d'un seul côté de $\mu_0$ ou $t$.

Par contre, prendre comme hypothèse $H_0={\mu\ge\mu_0}$ n'est pas opératoire, on n'a plus de statistique de test. Ce qui fait que ta phrase, prise au sens littéral, est juste.

Bien évidemment, si on soupçonne que $\mu = \mu_1>\mu_0$, le test de $\mu = \mu_1$ est éventuellement bien plus puissant que la pratique générale.

Cordialement.

(*) au sens habituel des tests d'hypothèse.

Positif

Bump : 
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ttest_ind.html
Comme on peut le voir, Scipy nous propose un $t$-test pour savoir si une quantité mesurée $\bar{X}_n$ est ou plus grande, ou plus petite ou différente d'une quantité $\mu_0$ donnée.

alternative{‘two-sided’, ‘less’, ‘greater’}, optional

Defines the alternative hypothesis. The following options are available (default is ‘two-sided’):

• ‘two-sided’: the means of the distributions underlying the samples are unequal.

• ‘less’: the mean of the distribution underlying the first sample is less than the mean of the distribution underlying the second sample.

• ‘greater’: the mean of the distribution underlying the first sample is greater than the mean of the distribution underlying the second sample.

Du coup, cela signifie qu'il parvient bien à obtenir des stats de test pour $ \{ \bar{X}_n > \mu_0 \} $ n'est-ce pas ? Pourtant je ne trouve pas la l'explication dans mon cours.

gerard0

Scipy, comme les autres logiciels statistiques, pratique ce que j'ai expliqué dans mon précédent message; qui est expliqué dans tous les bons cours sur les tests classiques.

Positif

Tu as un pdf ? Dans mon pdf je n'ai que le cas du test bilatéral que j'ai précisé plus haut.

gerard0

Non, je travaille sur livres. Il y avait un excellent pdf sur un site, il a disparu.

Mais tu peux chercher des cours de statistiques sur Internet, en rajoutant tests unilatéraux.