Sommes et produits vides (alerte marronnier)

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Réponses

  • En somme tu lui demande de définir le type correspondant à $Hom_{\mathcal E ns}(i\times j,A)$ ?
  • Vassillia
    Modifié (August 2023)
    Pour Bourbaki, ils disent seulement que :
    Toute matrice sur H dont l'un des ensembles d'indices I, K est vide est identique à la famille vide d'éléments de H ; on l'appelle encore la matrice vide
    Ils ne précisent pas les dimensions de la matrice vide en effet mais on peut très bien choisir de le faire si c'est plus pratique notamment pour la programmation informatique. Personnellement je trouve que c'est plus naturel et comme d'autres auteurs adoptent cette convention, adjugé pour moi pour cette version avec plusieurs matrices vides et qu'il suffit d'indicer par ses dimensions. D'autant que même Bourbaki parle pour sa définition d'une matrice 
    matrice de type (I,K) à éléments dans H (ou matrice de type (I,K) sur H)

    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Tu dois certainement utiliser le vocabulaire idoine 😀
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Derrière ces débats (sur la ou les matrices vides) se cachent des histoires de typage. Dans l'implémentation des objets faut-il que
    (1) le type de l'objet soit incrusté dans celui-ci (typage "à la Church" pour simplifier)
    (2) ou bien ce n'est pas nécessaire et le type sera plutôt une façon dont l'objet sera lu ou manipulé par certains mécanismes (Typage "à la Curry" où les types sont rajoutés aux objets par des mécanismes annexes, un même objet pouvant avoir plusieurs types différents: par exemple $\lambda x\lambda y \lambda z. x (y z)$ est un objet qui possède, pour tous types $A,B,C$, le type $(B \to C) \to ((A \to B ) \to (A \to C))$).
    Qui a raison? C'est une affaire de goûts et de besoins, mais il faut se mettre d'accord.
    En informatique, les données sont juste des suites d'octets et par exemple langage C, vous pouvez lire une mêle suite comme si c'était un entier ou une chaîne de caractères.

    Mon laïus sur les topos, si je pouvais le résumer, se reformulerait en "toute preuve que dans tout topos (où $\Z$ existe), $M_{0,n}(\Z) \neq M_{0,0}(\Z)$, entraînerait une contradiction dans les maths (ensemblistes)", parce qu'il y a un contre exemple de ça (cardinaux).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Je répète, une matrice, c'est un entier $n$, un entier $p$, et une application $n\times p\to \Z$. Ou, si tu veux, l'ensemble $M$ des matrices à coefficients dans $\Z$ est $\displaystyle M=\coprod_{(n,p)\in \N\times \N} \Z^{n\times p}$. La matrice de taille $(0,0)$ et celle de taille $(0,1)$ sont des éléments différents de $M$.
    Je pense c'est clair, inutile de chercher à embrouiller les choses.

  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Dom a dit :
    J’ai très mal dit les choses, GaBuZoMeu. 
    Ta définition est confirmée par Sage et elle est cohérente notamment avec le message de ev sur les notations (identiques « [ ] » pour des objets distincts). 
    Je demande à Foys, qui a souvent une approche algorithmique, de réfléchir à une façon de programmer l’objet « matrice » telle que cela confirme sa définition où dès qu’il y a un zéro, ça donne les mêmes matrices.  

    Soient $A$ un anneau, $n\in \N$, $p,q,i,j$ des entiers tels que $n\geq pq$. Pour tout $(v_0,v_1, ... v_{n-1}) = v\in A^n$, on pose $C^p_{i,j} (v):= v_{pj+i}$. Comme $(i,j) \in \{0,...,p-1\} \times \{0,...,q-1\} \mapsto pj+i \in \{0,...,pq-1\}$ est bijective, $w \in A^{pq} \mapsto \left [ \left ( C^p_{i,j} (w)\right )_{0 \leq i \leq p-1}\right ]_{0 \leq j \leq q-1}  = \left [ \left (w_{pj+i} \right )_{0 \leq i \leq p-1}\right ]_{0 \leq j \leq q-1} $ est également bijective.
    L'inverse de $(i,j) \mapsto pj+i$ est donné par $x \mapsto \left ( R_p(x), Q_p (x) \right )$ (avec $R_p$ et $Q_p$ les restes et quotients dans la division euclidienne par $p$).

    On pose alors, pour tout $x\in \{0,...,\ell n-1\}$, tous $F\in A^{\ell m}$ et tout $G\in A^{mn}$, $$\mu_{\ell, m, n} (F,G) (x):= \sum_{t=0}^{m-1} C^{\ell}_{R_{\ell}(x), t} (F) C^{m}_{t, Q_n (x)} (G) = \sum_{t=0}^{m-1} F_{\ell t + R_{\ell}(x)} G_{m Q_n (x) + t} $$
    Après l'efficacité de ce genre d'algo n'est peut-être pas la meilleure au vu des divisions euclidiennes employées.

    Bref on pose $\mathbf M_{p,q}(A) := A^{pq}$, entraînant au passage des égalités comme $\mathbf M_{4,6}(A) = \mathbf M_{8,3} (A)$ (qui ne sont pas du goût de tout le monde je sais) , rien n'empêche ultérieurement d'envisager des objets comme $\coprod_{p,q \in \N^2} \mathbf M_{p,q} (A)$.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2023)
    Encore une fois, $M_{p,q}(A)=A^{p\times q}\times \{(p,q)\}$, et les coefficients d'une matrice $3\times 4$ sont indexés par $\{0,1,2\}\times \{0,1,2,3\}$ (ou $\{1,2,3\}\times \{1,2,3,4\}$ si on préfère) et pas par $\{0,1,\ldots,11\}$.
    Vraiment, Foys, ne trouves-tu pas que tu en fais un peu trop ?

  • Congru
    Modifié (August 2023)
    Pourquoi vous n'identifiez pas les entiers à des ordinaux ? Ça simplifie bien la vie je trouve. Surtout lorsque vous faites des maths liées à l'informatique. C'est plus simple d'écrire $12$ que d'écrire $\{0;1;2;...;11\}$ et $pq$ c'est plus simple à écrire que $\{0;...;pq-1\}$. Mais j'ai l'impression d'être la seule personne sur terre qui utilise constamment les ordinaux (😓mais pourquoi).
  • @Congru je préfère dans la mesure du possible rédiger mes interventions de manière à laisser le lecteur libre de faire cette identification ou non. Cette interprétation des entiers et très pratique en théorie des ensembles mais ad-hoc et conceptuellement la meilleure (à mon avis) est celle de Church : $0:= \lambda f \lambda x. x$, $Succ:= \lambda n \lambda f \lambda x. f(n (f) (x))$, dont le contenu intuitif est qu'un entier est la répétition d'une même action, $0$ consistant à ne rien faire ($1:= Succ(0), 2:= Succ(1), 3:= Succ(2), 4:= Succ (3) $ etc, et par exemple $4(f)(t)= f (f(f(f(t))))$ pour tous $f,t$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Congru
    Modifié (August 2023)
    Bien vu @Foys, désolé pour ma lenteur de réponse, (aléas de la vie).
    Édit. (aléas de la vie: voyage international)
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