Sommes et produits vides (alerte marronnier)

2

Réponses

  • Cyrano
    Modifié (July 2023)
    Le $0$ continue de poser problème dès la petite enfance pour une raison simple : on continue d'apprendre aux enfants à compter à partir de $1$.
    Comment un tout jeune enfant reconnaît-il la quantité "8" ? Si je lui présente 8 pommes, il va chanter sa petite comptine numérique : $1,2,3,4,5,6,7,8$ tout en pointant son doigt sur chacune des pommes. Arrivé à la dernière pomme, il sera aussi arrivé à la fin de sa comptine et conclura qu'il y en a bien $8.$
    Autrement dit pour l'enfant, on a par définition $8 = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}.$ Bien sûr cette définition est circulaire (ce qui ne perturbe nullement l'enfant) et le mathématicien décale donc sa comptine d'un cran en arrière et décrète que $8 = \{0,1,2,3,4,5,6,7\}.$

    Il serait intéressant de voir les effets sur le long terme si l'ont apprenait aux enfants à compter à partir de $0$. 
  • Il suffit de montrer comment marche un chronomètre pour comprendre comment on compte à partir de zéro :)
    Et que le temps du 100 m n'est pas le même si on démarre à $1$ au moment du coup de feu du starter !
  • Dom
    Dom
    Modifié (July 2023)
    Moi j’en suis à dire « écoute-bien Émilie, quand j’écris un « $+$ » il faut un nombre à gauche et un nombre à droite, et c’est pareil quand j’écris un « $\times$ », ensuite on écrira plusieurs « $+$ » … ». 
    Rien de tout ça [message de Foys] quoi.

  • Bon exemple le chronomètre.  
    Quand on compte jusqu’à 8, on part de 1. 
    Mais quand on compte 8 secondes, l’impulsion doit commencer de zéro et on s’arrête à 8. 
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
    Les applications $+,\times$ prennent également exactement deux arguments quand on les met à contribution dans
    $x^y:=1$ si $y=0$ et $(x^{y-1}) \times x$ si $y\neq 0$
    $\sum L:= 0$ si $L$ est la liste vide et $h+ \sum T$ si $L := (h;;T)$ (liste obtenue en ajoutant $h$ à $T$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Homo Topi Le $1$ est le « rien » dans le monde multiplicatif. Imagine que les nombres vivent dans $\mathbb R^*$, le zéro n'existe pas ! 
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    $\newcommand{\dom}{\mathrm{dom}}$Un exo encore plus beau que le précédent 😱
    Rappel: soient $f,g$ deux fonctions de domaines respectifs $\dom(f)$ et $\dom(g)$. Si $\dom(f) \cap \dom(g)=\emptyset$, la réunion $f \cup g$ de $f$ et de $g$ est une fonction de domaine $\dom(f) \cup \dom(g)$ et telle que pour tout $x\in \dom(f)$ (resp. $x\in \dom(g)$) on a $(f \cup g) (x) = f(x)$ (resp $g(x)$).

    Soit $(M,*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne. Soit $E$ un ensemble ayant au moins trois éléments, et $F$ l'ensemble de toutes ses parties finies.
    Soit $L$ l'ensemble des fonctions $f$ dont le domaine appartient à $F$ et dont l'image est incluse dans $M$.
    On suppose qu'il existe une fonction $\Pi$ de $L$ dans $M$ telle que
    (1) pour tout $x\in F$ et tout $y\in M$, $\ \Pi \left (\{(x,y)\}\right ) = y$
    (2) pour toutes $f,g \in L$ telles que $\dom(f) \cap \dom(g) = \emptyset$, $\ \left ( \Pi (f) \right ) * \left (\Pi (g)\right ) = \Pi (f \cup g)$

    Questions:
    A ) Montrer que $M$ est non vide.
    B )  Montrer que $* $ est associative et commutative
    C ) Montrer que $M$ possède un élément neutre qu'on va noter $e$.
    D ) B)
     Montrer que $\Pi(\{\emptyset\}) = e$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Congru
    Modifié (July 2023)
    A) $M$ est non vide car $L$ est non vide et qu'il existe une application de $L$ dans $M$.
  • Congru
    Modifié (July 2023)
    B ) l'associativité et la commutativité de la loi de composition interne de $M$ découle de celle de l'union des applications.
  • C ) Le neutre est clairement l'image de l'application de domaine l'ensemble vide.

    D ) très bel exercice.
  • Peut-être, c’est selon, mais ça ne répond à rien.
    La diatribe de « la peur des profs » a bon dos : ce sont évidemment les non peureux du vide ou du zéro qui ne sont pas profs et qui leur donnent des leçons. 
    Ces gens m’amusent car on est dans la Yaka-FauxCon. 
  • Beaucoup d'enseignants n'hésitent pas à donner comme définition de $x^n$ dans un groupe la relation $x^0=e$ et la récurrence $x^{n+1}=x^n\times x$.
  • Dom
    Dom
    Modifié (July 2023)
    Oui mais à quel niveau, JLapin ? L1 j’imagine. 
    Car là on sent que ça souhaite dézinguer au moins le premier degré…
  • GaBuZoMeu
    Modifié (July 2023)
    Pour faire plaisir à @Homo Topi , une définition par récurrence sur la taille du déterminant d'une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif $A$ :
    • Le déterminant de la matrice à 0 ligne et 0 colonne est égal à l'élément neutre de $A$ pour la multiplication.
    • Le déterminant d'une matrice $(n+1)\times(n+1)$ se définit par développement suivant la première ligne, en utilisant les cofacteurs donnés par des déterminants $n\times n$.
    Attention, on ne confondra pas la matrice avec 0 ligne et 0 colonne avec la matrice avec 0 ligne et $n>0$ colonnes ; cette dernière n'a pas de déterminant.
  • (HS) C'est intéressant de savoir qu'on peut définir les déterminants sans signatures (après il y a des auteurs qui en profitent pour définir les signatures comme déterminant d'une matrice de permutation... c'est un choix étrange mais pourquoi pas).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Congru
    Modifié (July 2023)
    GaBuZoMeu a dit :
    Attention, on ne confondra pas la matrice avec 0 ligne et 0 colonne avec la matrice avec 0 ligne et $n>0$ colonnes ; cette dernière n'a pas de déterminant.
    🤣 Attention, je ne crois pas que tout le monde aura saisi que c'est de l'humour.
    Sinon je n'avais jamais pensé à définir le déterminant comme cela. Encore une belle application du théorème de récursion transfinie.
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    GaBuZoMeu a dit :
    Attention, on ne confondra pas la matrice avec 0 ligne et 0 colonne avec la matrice avec 0 ligne et $n>0$ colonnes ; cette dernière n'a pas de déterminant.
    Le drame terrible du typage :-)
    Étant donnés $i<j$ dans $\N$ soit $s_{i,j}$ l'unique application strictement croissante de $\{0,1,...,j-1\}$ dans $\{0,1,...,j\}\setminus \{i\} $. Soit $K$ un anneau et $M_{p,q}(K):= K^{\{0,1,...,p-1\} \times \{0,1,...,q-1\}}$. Rien n'interdit de poser pour tout $A\in M_{p,q} (K)$, $\det_{p,q} (A) = 1$ si $p=0$ ou $q=0$, et si $B:= M_{p+1,q+1}(K)$, $$\det_{p+1,q+1} (B):= \sum_{k=0}^p (-1)^k B(k,0) \det_{p,q} \left (i \in \{0,...,p-1\} \mapsto j \in \{0,...,q-1\} \mapsto B\left ( s_{k,p+1}(i), s_{0,q+1} (j) \right) \right )$$
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    Y a-t-il des mondes raisonnables (topoï ou autre) où $M_{0,n+1} (A) \neq M_{0,0}(A)$ pour un anneau $A$ et un entier $n$?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (July 2023)
    Le monde de tout le monde. 
    Une matrice $M$ à coefficients dans $A$ est un triplet $(I,J,M)$ où $I$ et $J$ sont des ensembles et $m : I\times J\to A$.
    Si $\mathcal E=(e_j)_{j\in J}$ est une base du $A$ module libre $E$ et $\mathcal F=(f_i)_{i\in I}$ une base du $A$ module libre $F$, la matrice d'une application $A$-linéaire de $E$ dans $F$ dans les bases $\mathcal E$ et $\mathcal F$ est ...
    Dans les petites classes, on prend $I=n$ et $J=p$ où $n$ et $p$ sont des entiers.
  • Congru
    Modifié (July 2023)
    @GaBuZoMeu
    Je pensais que tu plaisantais, mais bon, la définition que tu as donné semble ne servir que pour avoir plusieurs matrices "vides". Dans tous les autres cas, le $I$ et le $J$ sont des informations contenues dans la troisième composante du triplet.

    Je pense sincèrement que c'est plus judicieux de définir:
    $M_{n,m} (A) := Hom_{\mathcal Ens} (n\times m, A)$
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    GaBuZoMeu
    Mais $0 \times p  = 0 \times 0 = 0$ (j'imagine qu'il faut comprendre $p = \{0,\dots,p-1\}$).
    (édité): je n'avais pas vu le mot "triplet".
    Je ne pense pas que ce soit consensuel. Et puis on a encore affaire à un ensemble à un élément.
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (July 2023)
    "Et puis on a encore affaire à un ensemble à un élément."
    Qu'est-ce que ça veut dire ?

    Vous allez être vachement embêtés pour dire qu'une application linéaire est inversible si et seulement si sa matrice est inversible.
    Si la matrice $0\times 1$ est la même que la matrice $0\times 0$, il y a comme un problème : $\R^0\to \R^0$ est bien inversible, n'est-ce pas ? Alors, $\R^1\to \R^0$ est aussi inversible ?
    Foys, tu me déçois. :D
  • JLapin
    Modifié (July 2023)
    Congru a dit :
    GaBuZoMeu a dit :
    Attention, on ne confondra pas la matrice avec 0 ligne et 0 colonne avec la matrice avec 0 ligne et $n>0$ colonnes ; cette dernière n'a pas de déterminant.
    🤣 Attention, je ne crois pas que tout le monde aura saisi que c'est de l'humour.
    La matrice dans les bases canoniques de l'application nulle de $\R^5$ vers $\{0\}$ existe ;)
  • Congru
    Modifié (July 2023)
    @JLapin Pour qu'on parle de la matrice d'un morphisme d'espaces vectoriels, il faut deux espaces vectoriels libres de bases non vides, selon toutes les définitions que j'ai rencontrées, mais si on veut élargir la définition pour prendre en compte les morphisme dont le but ou la source est un espace vectoriel libre de base l'ensemble vide, alors cela donne matière à réflexion concernant la définition de Gabuzomeu
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • GaBuZoMeu
    Modifié (July 2023)
    La peur du vide a aussi frappé @Congru. :)
    Le produit de la matrice $0\times n$ (à gauche) par la mztrice $n\times 0$ est la matrice $0\times 0$. Le produit dans l'autre sens est la matrice nulle de taille $n\times n$. Il suffit d'appliquer la définition du produit de matrices par produit ligne-colonne, tout le monde étant bien d'accord qu'une somme indexée par l'ensemble vide est nulle.
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    GaBuZoMeu a dit :
    "Et puis on a encore affaire à un ensemble à un élément."
    Qu'est-ce que ça veut dire ? <---$\{(I,\emptyset, f) \mid f\in \R^{\emptyset \times I}\}$ est un singleton par exemple.

    Vous allez être vachement embêtés pour dire qu'une application linéaire est inversible si et seulement si sa matrice est inversible.
    Si la matrice $0\times 1$ est la même que la matrice $0\times 0$, il y a comme un problème : $\R^0\to \R^0$ est bien inversible, n'est-ce pas ? Alors, $\R^1\to \R^0$ est aussi inversible ?
    Foys, tu me déçois. :D

    Pour tous $I,J,K$ finis on a une fonction $\mu_{I,J,K}: \R^{I \times J} \times \R^{J \times K} \to \R^{I \times K}$ (définie par $a,b,i,k \mapsto \sum_{j\in I} a_{i,j} b_{j,k}$). On note $\mathbf I_E:= (g,h) \in E \mapsto 1$ si $g=h$ et $0$ sinon.

    On suppose que $I=K$.
    Soit $a\in \R^{I\times J}$.  Alors $a$ est dite inversible à droite pour $(I,J)$ s'il existe $b\in \R^{J\times I}$ tel que $\mu_{I,J,I} (a,b) = \mathbf I_I$. Soit $b'\in \R^{J\times I}$. $b'$ est dite inversible à gauche pour $(J,I)$ s'il existe $a'\in \R^{J \times I}$ tel que $\mu_{I,J,I} (a',b') = \mathbf I_I$.

    Si de plus $I = J$, un élément de $\R^{I\times I}$ est dit $I$-inversible s'il est inversible à gauche et à droite.

    Soient $E,F$ des espaces vectoriels réels de dimension finie, $(e_i)_{i\in I}, (f_j)_{j \in J}$ des bases respectivement de $E$ et de $F$ et enfin, $(e_i^*)_{i \in I}$, $(f_j^*)_{j\in J}$ leurs bases duales. Pour tout $u\in Hom(E,F)$ on pose $Mat_{f,e}(u):= (j,i)\in J \times I \mapsto f_j^* \circ u (e_i)$. $Mat_{f,e}$ réalise une bijection de $Hom(E,F)$ dans $\R^{J \times I}$.
    Alors pour tout autre espace vectoriel réel $G$ de dimension finie, toute base $(g_k)_{k \in K}$, toute base duale $(g_k)_{k\in K}$ et enfin tout $v\in Hom(F,G)$, on a $\mu_{K,J,I} \left (Mat_{g,f} (v), Mat_{f,e}(u) \right ) = Mat_{g,e} (v \circ u)$. On a $Mat_{e,e} (id_E) = \mathbf I_E$ (pareil pour les autres bases).
    Au final on a: $u$ inversible à gauche de $E$ dans $F$ (au sens usuel de l'algèbre linéaire) si et seulement si $Mat_{f,e}(u)$ est $(J,I)$-inversible à gauche.

    Soit $f$ tel que $\{f\} = \R^{0 \times 0} = \R^{0 \times 1}$. Alors $f$ est $0$-inversible et en même temps, $f$ n'est pas $(0,1)$-inversible à gauche. Il n'y a pas de contradiction.

    Lorsque $I$ et $J$ sont des entiers non nuls, pour tout autre couple d'entiers $P,Q$ tels que $\R^{P\times Q} = \R^{I \times J}$ on a $P=I$ et $Q=J$ ce qui fait que la mention explicite de $I$ et de $J$ peut-être escamotée.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bien vu @Foys, être inversible c'est avoir un inverse à gauche et un inverse à droite.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2023)
    Bonjour Foys
    Bel effort pour te sortir du pétrin dans lequel tu t'es mis en prétendant que la matrice à 0 ligne et 0 colonne est la même que la matrice à 0 ligne et 1 colonne !
    Tu dis qu'il n'est pas consensuel d'admettre que la donnée d'une matrice comprend la donnée des ensembles d'indices de lignes et de colonnes. Je dis que tout le monde est d'accord que quand on se donne une matrice, on sait ce qu'est la famille de ses lignes et la famille de ses colonnes.
    Tu préfères construire une usine à gaz en réintroduisant ces ensembles d'indices dans la définition du produit de matrices (tu t'es tout de même rendu compte qu'il fallait bien avoir ces foutus ensembles d'indices de lignes et de colonnes pour s'en sortir). C'est sûrement beaucoup plus consensuel !
    Une petite rectification pour la définition d'une matrice indexée par $I$ pour les lignes et $J$ pour les colonnes quand $I$ est infini : il convient de demander que chaque colonne $i\mapsto m(i,j)$ soit de support fini. On peut bien alors faire le produit d'une matrice de taille $(I,J)$ par une matrice de taille $(J,K)$ pour avoir une matrice de taille $(I,K)$, même avec des ensembles infinis.
    Il me semble qu'on peut trouver la définition des matrices incluant les ensembles d'indices de lignes et de colonnes chez Bourbaki, mais je ne l'ai pas sous la main pour vérifier.
  • Ça m’évoque une « private joke » de Caldero sur la dernière vidéo YouTube: la matrice identité peut éventuellement être égale à la matrice nulle mais uniquement en dimension zéro.
  • C’est amusant de voir déployer une énergie folle sur le cas « zéro » puis à la toute fin de traiter les cas « non nuls » à part quand on prétend que « zéro » fait peur à tout le monde sauf à soi sans bonne raison. 
    Finalement après ce fil, beaucoup de gens vont se dire « heu… zéro… heu… bon… je vais supposer que ce truc est non nul… ». 
    C’est ça la pédagogie. 
  • "Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n'ont point de dérivées" Charles Hermite.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2023)
    Il est tout à fait écoresponsable d'avoir des définitions saines et robustes incluant le cas $0$ ou $\emptyset$. Cela économise les questions oiseuses et l'énergie folle dépensée à traiter à part le cas $0$ ou $\emptyset$.
    On l'a vu dans ce fil avec le cas des sommes indexées par un ensemble fini, avec le cas des matrices (en incluant les ensembles d'indices de lignes et de colonnes). On peut ajouter la définition du pgcd, basée sur le préordre de divisibilité.
  • Congru
    Modifié (August 2023)
    @Dom là il ne s'agit pas de peur 🤣
    Il s'agit plutôt de définir la classe des matrices.
    La définition de @GaBuZoMeu donne plusieurs matrices vides, une autre définition (celle que je connais) n'en donne qu'une. On se demande alors laquelle de ces définitions est la plus pertinente. Est-ce utile d'avoir plusieurs matrices vides ?

    Édit. Je rajoute ceci:
    Donc Gabuzomeu a justifié l'utilité d'avoir plusieurs matrices vides avec la notion de morphisme inversible si et seulement si sa matrice est inversible, mais il s'avère que en prenant la définition avec une seule matrice vide, il se trouve que pour $n$ différent de $0$, et $u\in M_{n,0}(A)$ et $v\in M_{0,n}(A)$, $u*v$ ne donnera pas la matrice $I_n$.

  • Je dirais oui, pour traiter sans cas particuliers les matrices par blocs avec des blocs éventuellement vides.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    Oui, oui, j’ai bien compris cet aspect là. 
    Pas assez calé sur ces questions, j’avais aussi en tête qu’une matrice $(4,10)$ n’était pas le même objet qu’une matrice $(5,8)$ même si c’est isomorphe à l’ensemble $\mathbb A^{40}$.
    Ainsi, en tant que béotien, je préfère le texte de GaBuZoMeu quand il parle de triplet. 
    Mais je reste naïf sur ces questions que je ne méprise absolument pas (ni ne maîtrise). Je maintiens que c’est amusant de déclarer « $0$ est comme les autres » après avoir traité le cas à part et tant de dextérité combative. 
  • ev
    ev
    Modifié (August 2023)
    Dom a dit :
    C’est amusant de voir déployer une énergie folle sur le cas « zéro » puis à la toute fin de traiter les cas « non nuls » à part quand on prétend que « zéro » fait peur à tout le monde sauf à soi sans bonne raison. 
    Finalement après ce fil, beaucoup de gens vont se dire « heu… zéro… heu… bon… je vais supposer que ce truc est non nul… ». 
    C’est ça la pédagogie. 
    Pas d'accord ! Un des principes phares de la didactique (la pédagogie n'a pas grand chose à voir ici) c'est de ne pas distinguer de cas particulier quand ce n'est pas la peine. Ces conceptions à tiroirs donnent directement des écritures de programmes avec des cas particuliers superflus.
    J'ai le souvenir d'une discussion sans fin avec un jury de capes qui ne voulait pas voir de pgcd de (0,0) et voulait voir dans le programme un cas particulier pour (0,0).
    Rappelons que le capes est censé évaluer la didactique des candidats, ça fait froid dans le dos.
    De même, il est nuisible de vouloir masquer les difficultés quand il n'y a pas de difficulté.

    Dans le cas précis des matrices, il me semble qu'il y a une difficulté conceptuelle (en tout cas il y en a une pour moi) :
    J'écris une matrice $0\times1$ (n'importe laquelle) : $(~)$
    J'écris une matrice $1\times0$  : $(~)$.
    Je n'ai pas le droit d'écrire une égalité entre ces ces deux matrices, pas faciles à distinguer à l’œil nu.
    La notation usuelle des matrices entre parenthèses doit donc être considérée comme une abréviation. La notation complète - inutile lorsqu’il y a un nombre non nul de lignes et de colonnes - doit faire apparaître ces nombres de lignes et de colonnes.
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Foys
    Modifié (August 2023)
    @GaBuZoMeu la vraie raison pour laquelle ça me gêne est que ça casse la curryfication (on veut des identifications $a^{b \times c} = (a^b)^c = (a^c) ^b = (a^c)^b$ pour tous $a,b,c$).

    (avec l'axiome du choix global) La catégorie des ensembles $\bf Ens$ est équivalente à sa sous catégorie des cardinaux $\bf Card$ qui est donc un topos elle aussi. Donc s'il est possible de définir pour un objet anneau $A$ et des objets $I,J$, un "ensemble de matrices $Mat(I,J)(A) \simeq A^{I\times J}$" pour chaque topos alors on aura pour tout $J$ l'égalité en dur (et non plus un simple isomorphisme) $A^{\mathbf o \times J} = A^{\mathbf o} = \mathbf 1$ où $\mathbf o$ et $\mathbf 1$ sont respectivement l'objet initial et final du topos lorsque celui-ci est un squelette (toutes ses classes d'équivalence d'isomorphisme sont des singletons: c'est ce qui se passe avec $\bf Card$). Donc la distinction entre les divers $A^{\mathbf o \times J}$ où $J$ varie n'existe en réalité qu'au niveau des flèches (produits matriciels) $A^{I\times J} \times A^{J \times K} \to A^{I \times K}$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Modifié (August 2023)
    Bourbaki définit les fonctions comme des triplets $(A,B,f)$ avec $f\subseteq A\times B$ (qui est un graphe fonctionnel partout défini sur $A$) cependant et sauf faux souvenirs, dans le traité d'algèbre $Mat_{I,J}(K)$ est littéralement $K^{I\times J}$ et la problématique ci-dessus demeure dans ce cadre.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Dom a dit :
    C’est ça la pédagogie. 
    La pédagogie (en tout cas ce que ça devrait être), ça consiste surtout à dire les choses au lieu de les taire. Rendre taboues les opérations sur $0$ et $\emptyset$ n'est pas pédagogique.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    Tout le monde aura compris mon ironie dans le message qui stipule « la pédagogie ». 
    ev, certes c’est plus pertinent de parler de didactique mais dans le langage courant, ça fait pompeux. 
    Aussi, j’insiste sur l’ironie de mon message : quelqu’un qui ferraille dur pour annoncer que c’est simple. 
    Sur ce point Foys je suis d’accord : les tabous ne rendent pas service. Par contre ne pas les évoquer dans un cadre concret n’est pas créer un tabou. 
  • ...et je n'ai jamais dit vouloir rendre quoi que ce soit tabou.
  • Xavier Var
    Modifié (August 2023)
    Lorsque l'on dit "toute partie non vide de N admet un plus petit élément", on est bien d'accord qu'il est nécessaire de préciser non vide (puisque le vide ne contient aucun élément).
    Pourtant en quantifiant la phrase et en tenant compte que toute quantification avec l'ensemble vide rend la phrase vraie, je me rend compte que c'est peut-être pas nécessaire de le dire
      :o
  • GaBuZoMeu
    Modifié (August 2023)
    Je ne vois pas trop l'intérêt de parler de curryfication ou de topos ici.
    Voyons par exemple comment SageMath se débrouille
    A=matrix(ZZ,0,0)
    B=matrix(ZZ,0,1)
    C=matrix(ZZ,1,0)
    print("A={}, B={}, C={}".format(A,B,C))
    A=[], B=[], C=[]
    
    SageMath ne ferait-il pas la différence ?
    print("A égal à B ? {}. A égal à B*C ? {}".format(A==B,A==B*C))
    A égal à B ? False. A égal à B*C ? True
    

    print("B*C={}, C*B={}".format(B*C,C*B))
    B*C=[], C*B=[0]
    
    SageMath garde pour lui la taille des matrices, qui est un couple d'entier. Et le couple (0,0) n'est pas le couple (0,1).
    print("classe de A :",A.parent())
    print("classe de B :",B.parent())
    classe de A : Full MatrixSpace of 0 by 0 dense matrices over Integer Ring
    classe de B : Full MatrixSpace of 0 by 1 dense matrices over Integer Ring

  • Congru
    Modifié (August 2023)
    @Xavier Var je n'ai pas compris ce que tu dis.
    Xavier Var a dit :
    Pourtant en quantifiant la phrase et en tenant compte que toute quantification avec l'ensemble vide rend la phrase vraie, je me rend compte que c'est peut-être pas nécessaire de le dire  :o
    ?
  • Non j'ai dit n'importe quoi. J'ai confondu le sous-ensemble choisi (qui ne doit pas être vide) avec l'ensemble auquel il est rattaché (là qui ne peut pas être vide puisque c'est l'ensemble des parties de N). 
  • Vassillia
    Modifié (August 2023)
    Bonjour, wikipedia  https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_vide propose une solution à ce choix cornélien. Pour la notation d'une matrice vide, il suffit d'indicer par ses dimensions. On y apprend aussi le comportement de différents logiciels, la tendance semble être pour plusieurs matrices vides, des logiciels ont même évolué dans ce sens, seul Scilab n'en définit qu'une seule.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • On attend une réimplantation des matrices dans Sage, comme celle des puissances où on pose $x^0=1$ puis $x^{n+1}=x\times x^n$. 
    Pour les matrices et leur produit, donc, que faut-il faire ?
  • Peux-tu réexpliquer ton message, Dom ? Je n'ai pas bien compris.
  • Congru
    Modifié (August 2023)
    Bonjour @Vassillia,
    Justement la définition de Bourbaki c'est celle avec une seule matrice vide. (Je revérifie)
    Édit. Vérifié 
  • J’ai très mal dit les choses, GaBuZoMeu. 
    Ta définition est confirmée par Sage et elle est cohérente notamment avec le message de ev sur les notations (identiques « [ ] » pour des objets distincts). 
    Je demande à Foys, qui a souvent une approche algorithmique, de réfléchir à une façon de programmer l’objet « matrice » telle que cela confirme sa définition où dès qu’il y a un zéro, ça donne les mêmes matrices.  
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.