Sommes et produits vides (alerte marronnier)

Homo Topi

Dans une structure algébrique dans laquelle on peut définir une somme ou un produit, la somme indexée par la famille vide est égale au neutre additif et/ou le produit indexé par la famille vide est égal au neutre multiplicatif. La question est : comment on justifie ça proprement ?

La plupart des explications dont je me souviens se résument à :

- "c'est une convention", ou 

- "tu voudrais que ce soit quoi d'autre", ou encore 

- "tu n'as qu'à interdire de sommer sur la famille vide". 

Je ne trouve pas ça satisfaisant. 

- Dire que c'est une convention, en général, moi ça me dit que la définition n'a pas été posée proprement. Je donne un exemple : on a $0!=1$ mais ça fait peu de sens si on considère la factorielle comme le "produit des premiers entiers non nuls". Si au contraire, on définit $n!$ comme étant le cardinal du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, alors il n'y a aucun doute que $0!=1$, il n'y a pas de "convention" qui tienne, et le fait que $n!$ soit le produit des entiers non nuls jusqu'à $n$ apparait comme une propriété très particulière des groupes symétriques, je trouve ça nettement plus convaincant comme ça.

- Dire que ça ne peut être que le neutre n'explique pas pourquoi une somme vide puisse être égale à quelque chose. C'est pour moi le gros point inexpliqué de la chose, pourquoi diable est-ce cohérent qu'une somme sur une famille qui ne contient rien puisse avoir une valeur ?

- Interdire de sommer sur la famille vide me parait incohérent, je suis sûr qu'il est important d'avoir le droit de le faire ET qu'il est important que la valeur soit le neutre. La question est simplement, comment on construit ça de manière mathématiquement cohérente et "non parachutée". Il doit bien y avoir une manière intelligente de bien faire ça...

Dom

Une définition est une convention finalement. 

La loi est toujours supposée de composition interne, c’est déjà une piste. 

Pour le cas des puissances, non pas en version « cardinale d’ensembles d’applications » mais en version (naïve ?) « produit fini d’entiers », on ne s’en sort pas sans traiter le cas « zéro » dès le départ (définition) $a^4=1\times a\times a\times a\times a\times$ (on a bien mis le « 1 » initial) ou après (convention) avoir dégagé des propriétés.
Pour définir le produit avec des sommes itérées on peut aussi faire : $4\times a=0+a+a+a+a$. 

Ce sont des définitions qui coïncident avec des implémentations algorithmiques. 

Dom

Pour tenter de comprendre : Mettons-nous dans un groupe $(G, \star)$ d’élément neutre $e$. 

Comment rédiger la question formellement ?

JLapin

Homo Topi a dit :

Dans une structure algébrique dans laquelle on peut définir une somme ou un produit, la somme indexée par la famille vide est égale au neutre additif et/ou le produit indexé par la famille vide est égal au neutre multiplicatif. La question est : comment on justifie ça proprement ?

Est-ce indispensable /souhaitable de chercher à justifier une définition ?

GaBuZoMeu

Bonjour,

Dans un monoïde commutatif $M$ noté additivement et d'élément neutre $0$, On définit $\sum_{i\in I}x_i$, où $x:I\to M$ est une famille finie, par

• $\sum_{i\in \emptyset}x_i=0$
• $\sum_{i\in I\cup\{j\}}x_i=\sum_{i\in I}x_i+x_j$ si $j\not\in I$.

Montrer que $\sum_{i\in I}x_i$ est bien défini et ne dépend que de la famille $x: I\to M$. Montrer que si $\sigma: J\to I$ est une bijection et $y=x\circ \sigma$, alors $\sum_{j\in J}y_j=\sum_{i\in I}x_i$.

SkyMtn

Dans un groupe (ou même seulement un monoïde) abélien noté additivement, on a
$$ \sum_{i\in I\cup J} a_i =  \sum_{i\in I} a_i + \sum_{i\in J} a_i $$ quand $I,J$ sont des ensembles finis (non-vides) disjoints. La seule façon de définir $\sum_{i\in\varnothing}$ de sorte à conserver ces relations est de poser $\sum_{i\in\varnothing} a_i = 0$ (en notation multiplicative, on remplacerait $\sum$ par $\prod$ et $0$ par $1$).

Alors certes, c'est une convention, mais une convention fondée !

Homo Topi

JLapin a dit :

Est-ce indispensable /souhaitable de chercher à justifier une définition ?

Une égalité, oui, à mon avis. Mon avis est certes critiquable, c'est aussi à ça que sert le fil. Enfin, je vais formuler les choses autrement : j'aime bien que les définitions soient "minimales". Par exemple, dans mon exemple du groupe symétrique, il n'y a pas besoin de définir $n!$ par une formule pour $n\neq 0$, et $0!$ à part par "une autre formule", j'ai une définition unie et les deux formules en découlent par un raisonnement. J'imagine que c'est une question de style, je n'aime pas avoir des "par convention" qui traînent partout si on peut faire sans.

@GaBuZoMeu de 1 : la finitude de l'ensemble d'indices est-elle absolument indispensable (vraie question, pas un piège) ? Les séries formelles, ça existe bien... c'est censé être considéré comme un objet à part ? De 2 : tu poses donc la somme vide égale à $0$ par convention. Je cherche à voir si on peut le démontrer sans que ce soit une définition. Justement,

@SkyMtn pour l'instant, c'est ta version que je préfère. Il faudrait réussir à démontrer qu'une somme/un produit indexé par une réunion obéit au principe de la formule du crible, mais une fois qu'on a ça, c'est effectivement fondé : si l'on veut pouvoir définir une somme indexée par le vide, elle doit valoir le neutre. Je pense que ça doit pouvoir se faire, ça. Je repars réfléchir

GaBuZoMeu

Les séries formelles existent, mais c'est une autre histoire. On ne parle ici que de sommes finies.

Ce que j'ai écrit n'est pas une convention. C'est une définition de la somme d'une famille finie d'éléments d'un monoïde commutatif. C'est peu ou prou ce qu'on peut trouver chez Bourbaki.

Comment définis-tu $\sum_{i\in I}x_i$, toi ?

SkyMtn

@Homo Topi Disons plutôt que c'est une justification heuristique de pourquoi une somme/produit sur une famille vide est neutre. On peut très bien définir le composé d'une famille finie non-vide, mais ça oblige à distinguer des cas quand on établit des propriétés. Définir d'emblée ce que ça veut dire pour une famille vide simplifie un peu les choses.

Si on pense algorithmiquement, si on veut calculer une somme/un produit de termes, on initialise toujours la variable au neutre. Normal, au début il n'y a aucun terme.  

Homo Topi

Je ne considère pas que Bourbaki est nécessairement une référence absolue. Il se trouve qu'ici, visiblement, pour un petit détail, ça me convient moins. Je ne disconviens absolument pas que c'est une question de goût, évidemment. Et... je ne vois pas pourquoi on ne devrait parler que de sommes finies.

si $I$ est un ensemble et $f : I \longrightarrow M$ est une application vers ton monoïde, alors $f$ définit une famille $(x_i)_{i \in I}$ de $M$, où bien sûr $x_i=f(i)$. Et dans la théorie des ensembles, on est bien amené à donner un sens à $\displaystyle \prod_{i \in I}x_i$. Je n'invente pas, ça existe, donc je cherche à lui donner un sens, ne serait-ce qu'un sens formel. EDIT Me suis embrouillé, laisse tomber.

Je trouve plus "constructif" de commencer par définir les sommes/produits sur les ensembles non vides, puis d'utiliser ce que SkyMtn a mentionné pour l'étendre à l'indexation vide "avec une preuve". C'est moins rapide que de poser la définition par convention, mais, plus constructif (je trouve).

Je pense franchement que ces histoires (convention, pas convention) sont une affaire de goût. Un peu comme certains préfèrent définir l'exponentielle par sa série entière pour ne pas devoir la définir une fois sur $\R$, puis démontrer qu'elle vaut sa série entière, puis la re-définir dans d'autres contextes avec sa série entière. C'est certainement pour ça que le forum a certains marronniers, parce qu'il n'y a pas une façon universelle de mieux faire, parce que l'apprentissage est quelque chose de subjectif.

Congru

Soit $(M,\square,0)$ un monoïde. $\Sigma _{ (M,\square,0)}$ est le prolongement de l'identité de $M$ en morphisme de monoïdes, du monoïde libre de base $M$ vers $(M,\square,0)$.
Ceci justifie la sommation sur le vide qui n'est autre que l'application de $\Sigma _{ (M,\square,0)}$ sur le mot vide.

Homo Topi

Intervention très courte mais très riche en informations subtiles. Je vais devoir réfléchir à ça... merci @Congru !

Merci aux autres aussi, of course. Comme dit, je pense qu'on nage dans les préférences ici. Je cherche la mienne...

Congru

De rien @Homo Topi.
À mon très humble avis, Bourbaki a fait une erreur en commençant par le cas des magmas pour définir la somme indexée. Le cadre naturel de généralisation de la loi d'un magma $(M,\square)$ est une application dont le domaine est le magma libre de base $M$.

J'ai déjà eu cette conversation sur ce forum et Maxtimax avait dit des choses fort utiles là dessus.

JLapin

Homo Topi a dit : j'aime bien que les définitions soient "minimales".

Justement, la définition proposée par Gabuzomeu a l'avantage d'être minimale : en effet, difficile d'échapper à une définition par récurrence pour le cas courant des sommes indexées par un ensemble non vide et en plus, la définition proposée contient le cas particulier qui t'intéresse dans l'initialisation.

gerard0

Bonjour Homo Topi.
Tout d'abord, il faut éviter de parler de "somme vide", qui manque de sens. Il s'agit ici de sommation sur un ensemble d'indices vide.

Ensuite, réfléchir à la formation historique des notions et notations permet souvent de comprendre une convention et surtout pourquoi elle est universellement acceptée.

On a fait des sommes depuis des millénaires, avant de vouloir les noter algébriquement (Blaise Pascal somme encore avec des ... :  1+2+3+...+n). Puis on a inventé des notations pour les sommes quelconques (finies au départ) et on s'est mis d'accord sur le symbole $\sum$. En généralisant, on a sommé sur des ensembles d'indices, qui devenaient variables. Et alors s'est posé la question des ensembles non disjoints, puis de l'ensemble vide d'indices. Pour conserver l'associativité de la somme (*), on a immédiatement convenu que $\sum\limits_{i\in\emptyset} x_i =0$. Réflexion identique pour le produit.
Cordialement.

(*) si $I\cap J=\emptyset,\ \sum\limits_{i\in I}a_i+\sum\limits_{i\in J}a_i = \sum\limits_{i\in I\cup J} a_i$. Voir le cas où $J=\emptyset$.

Congru

Essayez de sommer au dessus du vide dans le cas général d'un magma.

Foys

En maths ce qui est un phénomène naturel est le fait qu'un énoncé soit un théorème ou non, dans un système d'axiome et de règles de déduction donnés.  Les définitions sont arbitraires. Aux échecs on ne se demande "pourquoi" un fou se déplace en diagonale. Après on peut se poser la question de s'il existe une définition de la somme indexée dans un monoïde commutatif qui ne fait pas référence explicite à la propriété "$\sum_{\emptyset} (...) = 0$" mais qui est telle que cette propriété est prouvable par la suite.

Congru

Soient $L$ un langage du premier ordre et $T$ une $L$-théorie consistante tel que tout ensemble $Z$ admet un $T$-modèle libre de base $Z$, soit  $(M,\theta)$ un $T$-modèle, on définit $\Sigma _{(M,\theta) ,T}$ comme le prolongement de l'identité de $M$ en morphisme de $L$-structures, de source le $T$-modèle libre de base M et de but $(M,\theta)$.

Décrété par moi, 😅 ça généralise toutes ces choses.

Édit. La première définition était nulle et ne généralisait rien du tout. Il fallait que je parle de modèles de théories plutôt que de structures sur un langage, et c'est corrigé. (PS : si vous n'avez pas vu la version précédente de ce message alors ignorez la note d'édit)

Congru

Autre justification:

On veut donner une fonctionnelle qui à chaque monoïde associe une généralisation de la loi du monoïde. Donc l'application de cette généralisation au mot vide donnera une fonctionnelle qui à chaque monoïde $(M,\theta)$ associera un élément de $M$, la fonctionnelle la plus simple qui fait cela c'est celle qui à chaque monoïde associe son neutre.
Édit. Modification car on peut trouver des fonctionnelles construites exprès pour ne pas choisir le neutre du monoïde dans des cas particulier.

GaBuZoMeu

Bof bof, @Congru.

Dom

C’est à peu de chose près l’un des items de Homo Topi « ça ne peut être que le neutre ». 

Thierry Poma

@Homo Topi : bonjour. C'est du déjà-vu, où l'on considérera la belle réponse apportée par @Maxtimax.

Congru

@GaBuZoMeu, c'est vrai qu'on peut toujours s'arranger pour que la fonctionnelle traite des cas particuliers différemment : exemple les monoïdes $(M,\theta)$ tels que $M$ est est de cardinal $2$, dans ces cas particuliers il suffit de choisir l'élément non neutre, aussi le cas particulier des monoïdes $(M,\theta)$ tels que $M$ est un ensemble d'ordinaux et les autres cas particuliers 😓
Y en a une infinité de cas particuliers. Je modifie mon message précédent.

Homo Topi

@JLapin oui mais elle oblige à "accepter" qu'un produit indexé par le vide vaut le neutre, ce qui est justement le point sur lequel je dis que pour moi, ce n'est pas forcément naturel à "accepter", j'aimerais mieux une définition qui a l'air cohérente sans ça mais qui permet de le démontrer, cf le message de @Foys. Parce que Comme quand Dom parlait des puissances : $x^1$, $x^2$ etc. on sait ce que c'est calculatoirement. Le fait que $x^0$ doive valoir $1$ vient du fait qu'on veut que $x^{n-n}$ puisse avoir un sens. Mais ce n'est pas du tout naturel comme idée qu'un nombre "multiplié $0$ fois par lui-même" existe ou ait une valeur précise. Donc soit on en fait une convention et on le glisse dans la définition, soit on le définit par une logique explicite et ça fait moins convention. Je préfère ça. C'est juste ma préférence.

@Thierry Poma il est aussi inquiétant que je ressente le besoin de remettre en question des choses qui me paraissaient acceptables avant (puisque c'est moi-même qui avais ouvert le fil que tu as partagé). Soit c'est une question de recul, soit c'est que je n'avais pas compris certaines subtilités que je remets sur la table...

GaBuZoMeu

@Homo Topi , trouverais-tu plus "naturel" de définir la choses comme suit :

$M$ est toujours un monoïde commutatif noté additivement d'élément neutre $0$.

• Pour toute famille indexée par un singleton $x:{j}\to M$, $\sum_{i\in \{j\}} x_i=x_j$.
• $\sum_{i\in I\cup\{j\}} x_i=\sum_{i\in I}x_i+x_j$ si $j\not\in I$.

Je te laisse démontrer alors que $\sum_{i\in \emptyset} x_i=0$.

Mais franchement, je trouve que tu te fais des nœuds dans la tête pour pas grand chose !

Homo Topi

Le noeud n'est pas si grand, il est juste long à expliciter. Mais oui, on trouve une solution qui me convient

Congru

Tu as le droit de travailler avec un objet mathématique (calculant la somme indexée) différent du $\Sigma$ tel qu'on le connaît , il faut juste le préciser dans tes écrits pour ne pas perdre le lecteur.

Edit. J'avais rajouté un texte Latex que j'avais du mal à écrire proprement ici et je ne suis pas sûr que cela apporte quelque chose au discours... effacé.

Homo Topi

Techniquement la seule chose que je préconiserais est d'initialiser les définitions par récurrence du type $x^n$ à $n=1$, puis d'établir que l'objet dont "le débutant" questionnerait le sens, à savoir $x^0$, $x$ multiplié "$0$ fois" par lui-même, peut avoir un sens et que ça ne peut pas être autre chose que $1$. Mes symboles somme/produit sont exactement les mêmes que d'habitude, juste avec un détail de présentation qui change.

GaBuZoMeu

Pourquoi ne pas initialiser à $0$ ? Apparement, il y a encore des gens à qui le zéro ou l'ensemble vide fichent une sacrée frousse !

Homo Topi

Simplement parce que ce n'est pas forcément intuitif. Que $x^1$ soit $x$ tout seul, je pense que tout le monde peut comprendre. Mais je pense vraiment que $x^0$ ou les opérations ensemblistes indexées par $\varnothing$ méritent une ligne d'explication à chaque fois, parce que c'est moins intuitif. Ce n'est pas tellement une question de frousse, c'est une question de pédagogie. J'aime bien avoir des explications dont je suis au moins convaincu moi-même !

GaBuZoMeu

Si tu aimes te compliquer la vie, tu es libre après tout ...

Tu as les mêmes angoisses pour la réunion d'une famille vide de parties de l'ensemble $E$ ?

Homo Topi

Je ne suis pas angoissé du tout, tu peux arrêter de répéter ça.

J'ai dit plusieurs fois que c'est simplement une question de pédagogie. Je préfère avoir sous la main une explication pour les "cas limite" qui sont moins intuitifs. Je ne vois pas en quoi c'est un problème et pourquoi je suis censé accepter de me faire charrier pour ça.

gerard0

Bonjour Homo Topi. 

Tu prends quand même un peu des bâtons pour te faire battre, à demander des preuves la où on a simplement choisi une convention pratique, qui permet d'éviter les disjonctions de cas. Il te suffisait de demander les raisons du choix. 
Après, on peut toujours théoriser, mais ce n'est pas nécessaire. 

Cordialement. 

Homo Topi

En ce qui me concerne, j'ai eu l'explication que je voulais, donc pour moi c'est bon.

Et, justement. Oui, la convention permet d'éviter la disjonction de cas, donc, oui, c'est plus court. MAIS (et les choses "indexées par le vide" SONT des marronniers du forum, donc ce que je dis est vrai) le fait de poser "c'est par convention" incite les gens à se demander si/pourquoi la convention est effectivement valide, si l'on peut faire autrement, si l'on devrait faire autrement. C'est exactement comme quand on pose un axiome dans une théorie : a-t-il raison d'être là, pose-t-il des contradictions, etc. Et pour avoir vu souvent des questionnements autour de ces cas limites (exposant $0$, indexation par $\varnothing$, application vide...), je pense que justement, faire une disjonction de cas et écrire une ligne de plus a une chance de lever tous ces doutes potentiels. Encore une fois, je ne comprends vraiment pas pourquoi ça serait mauvais.

Je suis d'accord qu'un cours de maths, en PDF, en classe ou en bouquin, plus c'est court, mieux c'est. Mais si un certain point soulève régulièrement des questionnements (longs...), peut-être qu'on a fait trop court. C'est juste une question de pédagogie. Je ne pense vraiment pas être le seul qui trouve ça plus logique d'initialiser les exposants à $1$ puis de montrer qu'on peut définir un exposant $0$ et qu'il ne peut valoir que $1$. C'est la même chose que d'initialiser à $x^0=1$, sauf qu'on explique d'où ça sort parce que la question revient souvent.

Et moi, je ne taquine ni réprimande personne pour ne pas penser exactement comme moi.

SkyMtn

@Homo Topi En notation additive ça donne $1.x = x$ et $0.x = 0$. Tu trouves que $0.x = 0$  n'est pas intuitif ? 

Homo Topi

C'est la même chose sans être la même chose (dans la tête d'un apprenant, j'entends). $0$ c'est l'absence de quantité. "J'additionne aucune fois telle quantité, ça donne $0$" c'est intuitif. "Je multiplie aucune fois telle quantité, ça donne $1$" ce n'est pas du tout la même idée, intuitivement. Beaucoup de gens se posent la question : pourquoi multiplier aucun truc ne donnerait-il pas $0$ ? Cherche $x^0$ sur Google, tu vas trouver plein de questionnements sur des forums francophones ou non, alors que pour $0 \times x$ ça a l'air d'être clair pour tout le monde. Donc $x^0=1$ mérite une ligne de plus pour être expliqué.

Il est cependant vrai que ce fil aurait plutôt eu sa place dans la partie Pédagogie, puisque mon objectif (dont je me suis rendu compte en discutant) était plutôt d'avoir une manière claire d'expliquer pourquoi $x^0=1$ (etc) est une convention cohérente.

Congru

@Homo Topi, ne sois pas de mauvaise foi, SkyMtn vient de te montrer que $x^0=1$ est naturel. Il suffit d'écrire en notation additive.

Dom

Pour les puissances, c'est tout de même une question qui revient souvent et ce n’est pas de la faute du collégien. 

On commence par parler de multiplication en primaire  : fonction dont l’argument est un couple, au moins. 

C’est bien gentil ensuite d’annoncer « pfffff c’est complètement idiot, il y a un un point de vue unificateur, voyons !!! » et encore mieux « pfffff les puissances ça se définit avec le cardinal des applications d’un ensemble dans un autre ». 

Finalement, le marronnier est tenu par le collégien [et ce n’est jamais le même collégien qui « marronne » » ] qui se pointe avec sa question mais il est ensuite entretenu par le gars [c’est souvent le même gars qui marmonne] du supérieur qui annonce d’un air supérieur « pffff … ».

Je fais cependant la distinction entre ces « pfffff » et ceux qui saisissent et comprennent les deux points de vue (l’un, écolier, l’autre unificateur).
Le premier message de GaBuZoMeu est super clair (les autres aussi, hein !) et il signifie bien que c’est une définition en « deux lignes ».
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2440966/#Comment_2440966
Ça a le mérite supplémentaire de tordre l’idée que « ça se démontre » (sauf à changer de définition dans le cas des puissances). 

On peut faire un paragraphe quasiment identique sur l’addition répétée et le $0\times x$. En effet, là encore, l’addition est une fonction qui prend un couple de nombres, en moyenne ou grande section. 

NB : c’est une digression (le cas des puissances) par rapport à la question plus générale d’Homo Topi qui n’est pas un collégien, faut-il parfois être explicite pour éviter des malentendus. 

Foys

@Dom a dit:
Finalement, le marronnier est tenu par le collégien

Le marronier n'est pas tenu par le collégien. Il est entièrement inventé et entretenu par une partie de la communauté enseignante qui fait parfois parler des élèves imaginaires à sa place pour dire que "$x^0$ est anormal".

Si on arrêtait de répéter ça bruyamment le problème disparaîtrait.

Fondamentalement le "sens" n'existe pas dans la nature. Le sens est une invention de l'homme du début à la fin.  La nature impose des phénomènes naturels et des relations peut-être causales que l'homme s'efforce de maîtriser, par la science par exemple. La nature ne produit aucun sens. Le sens est introduit par l'homme pour faciliter sa compréhension (ce qui est une bonne chose), pour faire des synthèses de volumes d'informations autrement intraitables. Bref la recherche du sens (en tant que phénomène naturel) est totalement vaine.

Les opérations des mathématiques de l'école primaire sont inventées et sont toutes des programmes informatiques. La manière la plus courte de définir la somme/multiplication des éléments d'une liste est d'attribuer à la liste vide la valeur neutre.

Dom

Tu fais hélas la démonstration de ce que je dis. Mais on s’en fiche. 

Et tu conclus par « la manière la plus courte »… ce qui n’est pas du tout la contrainte pour des écoliers. 

Homo Topi

@Congru écrire une multiplication en notation additive ça peut paraître naturel pour nous, parce qu'on sait manipuler des structures algébriques avec ces deux notations. Je doute que l'explication qui convienne à ceux qui se posent légitimement la question (collégiens, lycéens, étudiants en sciences non-centrées sur les maths, étudiants en maths appliquées qui n'ont pas fait beaucoup d'algèbre abstraite... ça fait du monde) puisse passer par ça.

@Dom en principe, je suis d'accord avec toi (et avec la définition de @GaBuZoMeu , là n'est pas le problème). Comme dit j'aurais dû formuler les choses différemment dès le début, je pense que ma propre question n'était pas claire pour moi au début non plus. Il était simplement question de, comment légitimer que $x^0=1$, peu importe si tu le mets dans la définition où si tu en fais un cas particulier à part. Puisque, comme tu comprends, la question revient sans arrêt, à plein de niveaux d'études... donc c'est que ce n'est pas si clair que ça !

On peut évidemment faire le matheux obtus en disant "on définit ce qu'on veut, faut-il mettre en question toutes les définitions du monde maintenant ?". Je n'ai jamais dit ça non plus. Certains concepts en maths ont été inventés "pour les maths", d'autres (comme le calcul) ont été inventés pour pouvoir modéliser des choses du monde réel. Donc là où la réalité physique de "additionner rien, ça donne $0$ ie rien" est plutôt claire, celle de "multiplier rien, ça fait $1$ ie pas rien" l'est moins. Donc à mon sens, c'est mieux de mettre en évidence que $x^0$ est un artifice calculatoire pratique, et à mon sens, ça se fait mieux en l'excluant au départ de la définition (qui est meilleure pédagogiquement, à mon sens encore une fois, si elle apparaît comme naturelle, vu ce qu'on essaie de définir). Pour les choses comme les opérations ensemblistes indexées par $\varnothing$, j'ai moins de réticences à mettre des valeurs "convention" dessus, puisqu'on nage dans l'abstrait de toute façon. Mais pour une addition/multiplication numérique indexée par $\varnothing$, pour moi c'est un cran moins abstrait, donc il faut quelque chose de plus. Mais bon, chacun a son concept de ce qu'est une bonne explication, à la fin.

Homo Topi

Foys a dit :

Fondamentalement le "sens" n'existe pas dans la nature. Le sens est une invention de l'homme du début à la fin.  La nature impose des phénomènes naturels et des relations peut-être causales que l'homme s'efforce de maîtriser, par la science par exemple. La nature ne produit aucun sens. Le sens est introduit par l'homme pour faciliter sa compréhension (ce qui est une bonne chose), pour faire des synthèses de volumes d'informations autrement intraitables. Bref la recherche du sens (en tant que phénomène naturel) est totalement vaine.

C'est sur ce point que je ne suis pas entièrement d'accord avec toi (dans mon message précédent). Le calcul a été inventé pour modéliser des réalités physiques fondamentales du monde qui nous entoure, donc il est important que tous puissent se l'approprier. Et puisque tout le monde n'a pas un cerveau taillé spécifiquement pour l'apprentissage de l'abstrait... internet foisonne de questions sur ce fameux $x^0=1$, cf encore une fois mon dernier message. $x^n$ avec $n \neq 0$ peut être compris naturellement par la plupart des gens, même les "non doués à l'abstrait". $x^0$, en toute évidence (preuve : recherche google de 5 secondes), moins. Donc je préconise d'adapter la présentation de la chose, et je me questionnais sur la bonne manière de faire.

Pour les maths qui sont un peu plus loin de "l'usage commun par les gens normaux au quotidien", c'est moins problématique. On définit des maths pour matheux, entre matheux, et là effectivement on y fait beaucoup plus ce qu'on veut, ça je suis entièrement d'accord.

Foys

Homo Topi a dit :

 Je doute que l'explication qui convienne à ceux qui se posent légitimement la question (collégiens, lycéens, étudiants en sciences non-centrées sur les maths, étudiants en maths appliquées qui n'ont pas fait beaucoup d'algèbre abstraite... ça fait du monde)

Le problème est de répondre à des gens qui ont en fait déjà décidé de ce que devrait être la réponse à l'avance. "Non je veux le sens naturel gnagnagna".

Après il y a des gens odieux (comme Foys d'internet ), qui disent aux gens ce qu'ils estiment être vrai, pas ce que l'interlocuteur veut entendre.

Foys

Soit $F$ l'ensemble des parties finies de $\N$ et $f$ une fonction de $F$ dans $\N$. On suppose que pour toutes parties finies disjointes $A,B$ de $\N$, $f(A \cup B ) = f(A)f(B )$ . Montrer que $f(X )=0$ pour tout $X\in F$, ou bien que $f(\emptyset) = 1$.

Homo Topi

Oui. Au fond, la réponse définitive c'est juste qu'il n'y a pas une manière de faire qui marche pour tout le monde. Comme je disais déjà, l'apprentissage c'est subjectif. Typiquement pour le $x^0=1$, OK, mettons ça dans la définition, mais alors il faut avoir une explication au niveau de ceux qui ressentent le besoin de questionner cette égalité qui peut leur sembler arbitraire, ou pire, illogique au premier abord.

Pour les sommes/produits vides, j'étais capable de "juste accepter" leur valeur dès le début, et c'est ce que j'ai toujours fait d'ailleurs, là n'était pas le problème. Mais je préférais avoir une explication "propre", et connaissant les maths, je savais qu'il y en a une, autre que "on l'a décidé comme ça point barre". D'où le fil.

Foys

En fait l'énoncé précédent ne dit pas qui est $f$. Dans la pratique les gens introduiront une $f$ totalement arbitraire. Mais s'ils insistent pour que $f(A\cup B ) = f(A)f(B )$ ils seront obligés d'avoir $f(\emptyset) = 1$ ou bien une situation triviale pas forcément dans leur intention.

La définition de $f$ est arbitraire, l'obstruction est un phénomène naturel.

Foys

Le nombre zéro a traumatisé des gens pendant des siècles, qu'est-ce qu'on en fait aujourd'hui ?
Réponse : on enseigne le zéro au CP, directement, avec ses vraies règles d'usage point barre.

Il n'y a pas de traumatisme. Les enfants contemporains ne sont pas plus intelligents que leur contreparties du moyen-âge.

La peur des définitions sur les objets vides ou dits vides est un problème créé et entretenu par une tradition pédagogique et non pas présent à l'état de nature chez l'apprenant.

Congru

Foys a dit :

La peur des définitions sur les objets vides ou dits vides est un problème créé et entretenu par une tradition pédagogique et non pas présent à l'état de nature chez l'apprenant.

C'est vrai que les enseignants transmettent ce genre de peur à leurs élèves. Et une fois adulte la plupart des anciens élèves ont du mal à se débarrasser de cette peur.

Foys

Homo Topi a dit

 internet foisonne de questions sur ce fameux $x^0=1$, cf encore une fois mon dernier message.

Quand ils étaient plus jeunes les gens qui écrivent ça sont allés, comme toi et moi probablement, à l'école et c'est là qu'on a attiré maladroitement leur attention sur un non-phénomène.

En fait je me souviens précisément de la première fois qu'on m'avait parlé de cette "problématique": j'étais au lycée et le prof a annoncé solennellement, avec des trémolos dans la voix, que "$0^0$ n'a pas de sens". J'avais jamais fait gaffe avant. Plus tard j'ai su que si, on pouvait donner un sens à ça (car à nouveau le sens est toujours donné, jamais prélevé dans nature), avec des cardinaux d'ensembles de fonction ou des constructions de programmes.

Dom

La vision algorithmique est désormais pédagogique. C’est un des points des programmes où l’on se dit qu’il y a une pertinence. 

Foys

Exo !
On suppose donnée, pour tout anneau commutatif $A$, une fonction $f_A$ de $\N \times A$ dans $A$. On suppose en outre que:
(1) pour tout anneau $A$, tout entier $n$ et tous $x,y\in A$, $\ f_A(n,xy) = f_A(n,x) f_A(n,y)$
(2) pour tout anneau $A$, tout $x\in A$ et tous $m,n\in \N$, $\ f_A(m+n,x) = f_A(m,x) f_A(n,x)$
(3) pour tous anneaux commutatifs $A,B$, tout morphisme d'anneaux $\varphi: A \to B$, tout entier $n\in \N$ et tout $x\in A$,  $\ \varphi \left (f_A(n,x) \right) = f_B(n,\varphi(x))$
(4) il existe au moins un anneau commutatif $A$, un entier $n$ et un $x\in A$ tels que $f_A(n,x) \neq 0$ (!!!).

Montrer que pour tout anneau commutatif $A$ et tout $x\in A$, $f_A(0,x) = 1$. En particulier $f_A(0,0) = 1$.
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P.S. il existe des exemples de telles fonctions autres que celle à laquelle pense le lecteur, par exemple $f_A(n,t):= t^{3n}$ pour tous $n,t,x$.

Question subsidiaire : si vous pensez que l'un des items (1) à (4) est une exigence déraisonnable pour une notion de puissance, pouvez-vous indiquer laquelle et pourquoi ?