Translations et homothétie dans un triangle ?

jelobreuil
Modifié (July 2023) dans Géométrie
Bonjour à tous,
Soit un triangle $ABC$, les milieux $A'$, $B'$ et $C'$ des côtés, et un point $P$ du plan, non situé sur les côtés du triangle. 
Montrer que les droites parallèles aux céviennes $PA$, $PB$ et $PC$, menées respectivement par les points $A'$, $B'$ et $C'$, concourent en un point $R$ tel que $\overrightarrow{GR} = \overrightarrow{PG}/2$. 
Bien cordialement, JLB
    

Réponses

  • Bonjour,

    En barycentriques, si $P=[u; v; w]$, alors $R = [v+w; w+u; u+v]$. On a $\overrightarrow{GR}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GP}$.
    Cordialement,
    Rescassol

  • Note

    si PG = 2 GR
    ⇒ R est le point complément de P
    ⇒ aires :  [ABP] + [ACP] = 2 [BQC]
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