Carrés et suites récurrentes linéaires

uvdose

Bonjour

Savez-vous s'il existe un résultat qui ressemble à ça.

Si $(a_n)$ est une suite récurrente linéaire (avec relation à coefficients tous entiers) dont tous les termes sont des carrés parfaits, alors il existe une suite $(b_n)$ récurrente linéaire telle que $\forall n,\ a_n=b_n^2$ ?

Auriez-vous des références sur des questions connexes ?
Merci pour votre aide !

YvesM

Bonjour
J’ai montré que si la suite $a$ est en progression arithmétique, alors la suite $b$ n’existe pas. 

gerard0

Effectivement, si $a$ est une suite arithmétique d'entiers "dont tous les termes sont des carrés parfaits", ...

Dom

Personne n’existe en effet.  

uvdose

Je ne comprends pas bien pourquoi mon message "Carrés et suites récurrentes linéaires (2)" a soudain disparu ?

Bon, ce n'est pas bien grave car j'aurais dû réfléchir un peu plus avant de le poster... Pour ceux qui ont eu le temps de lire, le polynôme caractéristique de $(\mathscr{R})$ étant $(X-1)^3$, la suite $(a_n)$ est polynomiale de degré au plus $2$ : en tirant sur le fil, la solution n'est pas loin.

-------------------------------------

[Message effacé par l'auteur. AD]

Il est facile d'établir que si $b_0$, $b_1$ et $b_2$ sont trois entiers relatifs tels que $b_2=2b_1-b_0$, alors tous les termes de la suite $(a_n)$ définie par $(a_0,a_1,a_2)=(b_0^2,b_1^2,b_2^2)$ et la relation de récurrence $$a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n \;\;\;(\mathscr{R})\,,$$ sont des carrés parfaits. En effet, une récurrence (triple) permet de prouver que $\forall n\in\mathbb{N}$, $a_n=b_n^2$, où $(b_n)$ est la suite définie par $(b_0,b_1)$ et la relation de récurrence $b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$. Je m'interroge sur la réciproque. Plus précisement, le résultat suivant est-il vrai ? 

Conjecture :
Si $(a_n)_{n\geqslant0}$ une suite vérifiant $(\mathscr{R})$ et dont tous les termes sont des carrés parfaits, alors $\sqrt{a_2}=|2\sqrt{a_1}\pm\sqrt{a_0}|$.

J'ai vérifié informatiquement que la conjecture était vraie en imposant $\max(a_0,a_1,a_2)\leq10^6$.

YvesM

Bonjour,

Voici un contre exemple à ta proposition : 
On choisit $a_0=1^2, a_1=b^2, a_2=b^2$ on a donc $b_0=1, b_1=b, b_2=b.$

La relation de récurrence donne $a_3=b_3^2=3b_2^2-3 b_1^2+b_0^2=1^2=1 $ et est bien vérifiée. 

Mais pour avoir $b_2=2b_1\pm b_0$ il faudrait avoir $b=\pm 1$ alors que $b$ est quelconque. 

Ta proposition doit exclure les cas d’égalité entre certains termes de la suite $a.$

Calli

Bonjour,

Notons $b_{n} :=\sqrt{a_{n}}$ et $T$ l'opérateur $(u_{n}) \mapsto  (u_{n+1} )$ sur $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. On a $(T-1)^{3} =T^{3} -3T^2 +3T-1$ donc $(T-1)^{3} (a_{n} )=0$. Ainsi, $(T-1)^2 (a_{n} )$ est une suite constante, puis $(T-1)(a_{n} )$ est affine, puis $a_{n}$ est de la forme $p^2 n^2 +qn+r$ avec $p,q,r\in \mathbb{R}$ (le coef dominant est positif car $(a_n)$ est positive). Par ailleurs, on suppose que $b_{n}$ est entier pour tout $n$. Montrons que ça implique que $p$ est entier et que : $\exists m\in\Bbb Z,\forall n, \; b_{n} =pn+m$.

Partons du DL : $b_{n} = \sqrt{p^2 n^2 +qn+r}=pn+ \frac{q}{2p} +o(1)$.

• Si $p$ est irrationnel, alors $\{pn\} :=pn -\lfloor {pn}\rfloor $ est dense dans $[0,1]$. Donc $\{b_{n} \}$ est aussi dense, ce qui est absurde.
• Si $p$ est un rationnel non entier, alors on peut écrire $p = \frac{s}{t}$ avec $s,t$ deux entiers premiers entre eux et $t\geqslant 2$. Donc l'image de la suite $(\{pn\})$ est $\{0, \frac{1}{t} , \frac{2}{t} ,\dots , \frac{t-1}{t} \}$ qui est de cardinal au moins deux. Donc $(\{b_{n} \})$ possède au moins deux valeurs d'adhérence, ce qui est absurde.
• Ainsi, $p$ est entier. Donc $\frac{q}{2p}=b_{n}-pn+ o(1)$ doit aussi être entier. Notons le $m$. Ensuite, par décomposition en série entière de $\sqrt{1+ \frac{q}{p^2 } x+ \frac{r}{p^2 } x^2 }$, il existe une suite $(c_k)$ telle que pour tout $n$ assez grand (pour être dans le disque de convergence de la série entère) : \[\qquad  b_{n} = pn\sqrt{1+ \frac{q}{p^2}\frac1n + \frac{r}{p^2}\frac1{n^2 } }=p n+m+\sum_{k=1}^\infty  \frac{c_{k} }{n^{k}} .\] Montrons que : $\forall n,\; c_{k} =0$. Si ça n'est pas le cas, il existe un entier minimal $K$ tel que $c_{K} \neq 0$. Alors $0=\{b_{n} \} \sim  \frac{c_{K} }{n^{K}}$, donc $c_{K} =0$. Ainsi on a forcément : $\forall n,\; c_{k} =0$. Donc pour tout $n$ assez grand, $b_{n} = pn+m$ et $a_n=b_n^2=p^2n+2pmn+m^2$. D'où $r=m^2$. Ainsi, pour tout (vraiment tout) $n$, $a_n =(pn+m)^2$. D'où le résultat.

Calli

Qu'est-ce qui s'est passé dans ce fil ?????
Le message auquel j'ai répondu a disparu et je n'ai pas vu ça quand j'ai écrit : 

uvdose a dit :

Je ne comprends pas bien pourquoi mon message "Carrés et suites récurrentes linéaires (2)" a soudain disparu ?
Bon, ce n'est pas bien grave car j'aurais dû réfléchir un peu plus avant de le poster... Pour ceux qui ont eu le temps de lire, le polynôme caractéristique de $(\mathscr{R})$ étant $(X-1)^3$, la suite $(a_n)$ est polynomiale de degré au plus $2$ : en tirant sur le fil, la solution n'est pas loin.

AD

J'ai fusionné les deux discussions de uvdose. 
uvdose a alors effacé son message fusionné, en signalant "posté par erreur", puis il a effacé ce signalement et enfin l'a remplacé par le message ci-dessus
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2441149/#Comment_2441149
J'ai restitué, en citation, le message initial effacé.
AD

Calli

D'accord. Merci @AD.

uvdose

@AD J'ai mis un moment à comprendre que tu avais fusionné les discussions. 

@Calli Merci pour ta réponse. 

LOU16

Bonjour,

Une autre justification de la caractérisation donnée par  @Calli.

Soit $ a \in \R^{\N}.$ Alors les assertions $(A)$ et $(B)$ suivantes sont équivalentes

$(A):\quad a \text{ vérifie la relation } \mathscr R \text{ et prend ses valeurs dans }\Big\{k^2 \mid k \in \N\Big\} .$

$(B):\quad  \exists  s,t \in\Z \text{ tels que }\forall n\in\N, \:a_n =(sn+t)^2.$

$(B)\implies (A)$ est une vérification facile à exécuter. Prouvons; $\:\:(A) \implies (B).$

Les suites satisfaisant à $\mathscr R$ sont les suites polynomiales de degré $2$ de $n$. $\:a$ vérifie $(\mathscr R)$, donc $\exists p,q,r \in \Q, \: p\geqslant 0, \exists b\in \N^{\N}$ tels que:

$\forall n \in \N,\:\:a_n = pn^2+qn+r =b_n^2.\:\:$ Notons $s= \sqrt p,\:t =\dfrac b{2\sqrt p}\:(\star),\:\:u_n =b_n -sn-t.\quad$ Alors$\:\: u_n =\dfrac {r-t^2}{\sqrt{pn^2+qn+r}+sn+t},\qquad\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n =0.\:\:$

Si $s\notin \N,\: $ alors $d(s,\Z) > 0,\quad\exists n\in \N $ tel que $|u_n| +|u_{n+1}|< d(s,\Z), \:\:b_{n+1}-b_n =s+u_{n+1}-u_n.$

$d(s+u_{n+1}-u_n, \Z)>d(s,\Z) -|u_n|-|u_{n+1} |>0 .\quad$ Cela contredit $b_{n+1}- b_n \in \Z.\:\: $ Ainsi $\quad s\in \N.$

$t+u_n = b_n-sn.\quad$ La suite $(t+u_n)_n $est une suite d'entiers de limite $t.\:\:\exists N\in\N $ tel que $n\geqslant N \implies u_n =0, \:\:t\in\Z$

$\forall n\geqslant N , \:\:pn^2+qn+r =(sn+t)^2.\:\:$ Les polynômes $pX^2+qX+r$ et $(sX+t)^2$ sont égaux, $\:\:\forall n \in\N,\:a_n =(sn+t)^2\:\square$

$(\star):\: $ Si $p=0,$ alors $q=0$ et la suite $a$ est constante.

uvdose

Merci LOU16 !

uvdose

Un grand merci à J.P. Bézivin qui me signale que la réponse à la question initiale est positive.
C'est même vrai pour les puissances $k-$ièmes, avec $k\geqslant2$. Voir cet article d'Umberto Zannier.

uvdose

Je n'ose pas ouvrir une autre discussion, par peur d'une nouvelle fusion intempestive... Je pose donc ma question ici :

Peut-on trouver une CNS portant sur $(a_0,\cdots,a_{11})\in\N^{12}$ , pour que tous les termes de la suite $a$ définie par 
$$\forall n\in\mathbb{N}\,,\,a_{n+12}=a_{n+9}+a_{n+8}+a_{n+7}-a_{n+5}-a_{n+4}-a_{n+3}+a_n \;\;(\star)\,,$$ soient des carrés parfaits ?

Remarques : 1) La forme factorisée du polynôme caractéristique de la relation $(\star)$ est
$$P=(x-1)^3(x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\,.$$
2) Si $k\in\N$, les $12-$uplets $(k^2,k^2,\cdots,k^2)$ et $(0,k^2,4k^2,9k^2,\cdots,100k^2,121k^2)$ répondent à la question.
3) Si besoin, on dispose désormais du théorème de Zannier mentionné ci-dessus.

uvdose

Pour tout $(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon)\in\N^5$, les $12-$uplets
$$(\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2},\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2},\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2})\,,$$
et
$$(\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2,\varepsilon^2},\underline{\alpha^2,\beta^2,\gamma^2,\delta^2,\varepsilon^2},\underline{\alpha^2,\beta^2})\,,$$
qui engendrent une suite $a$ périodique (de période $4$ ou $5$), répondent aussi à la question.

LOU16

Bonjour,

Si je n'ai rien oublié, je trouve que les  seules suites qui répondent à la question sont les suites qui sont: des carrés de suites d'entiers  $(u_n)_n$ telles que $(u_n)_n$ est:  arithmétique , ou $3$-périodique, ou $4$-périodique, ou $5$-périodique.

uvdose

Merci ! Tu as eu recours au théorème de Zannier ou ta démonstration reste-t-elle "élémentaire" ?

LOU16

Re,

Il était bien tentant de limiter de domaine dans lequel il convenait de farfouiller pour trouver les suites en question, et je ne me suis pas fait prier pour utiliser le résultat de Vannier qui donne une réponse positive à la question à l'origine de ce fil.

uvdose

Si tu as un jour le temps (et l'envie) de rédiger les détails, je suis preneur.

uvdose

@LOU16 : Je pense que quelques $(u_n)$ de période $6$, $10$, $12$, $15$ ou $20$, sont passées au travers des mailles de ton filet. 

Dans le bouquin de R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, p 187, l'auteur fournit deux ensembles $X=\{9282000;60386040;26822600\}$ et $Y=\{22276800;7422030;8947575;44142336\}$,
tels que pour tout $(x,y)\in X\times Y$, $x^2+y^2$ est un carré parfait.
En considérant la suite $4-$périodique  $(x_n)$ telle que $(x_0,x_1,x_2,x_3)=(0,9282000,60386040,26822600)$,
et la suite $5-$périodique $(y_n)$ telle que $(y_0,y_1,y_2,y_3,y_4)=(0,22276800,7422030,8947575,44142336)$, on obtient une somme $(a_n)=(x_n^2+y_n^2)$ $20-$périodique (de période ni $4$, ni $10$) qui vérifie $(\star)$ et dont tous les termes sont des carrés parfaits.

uvdose

Par exemple, sauf erreur, si $(u_n)$ est une suite d'entiers $6-$périodique, alors $(a_n)=(u_n^2)$ répond à la question si et seulement si : 
$$\left\{\begin{array}{rcl}2u_0^2+u_1^2+u_5^2&=&u_2^2+2u_3^3+u_4^2\\u_1^2+u_2^2&=&u_4^2+u_5^2\end{array}\right.\,.$$