Sur la fonction $d(n)$

Keynes

Bonjour. Soit $\ d(n)=\sum_{d \mid n}1.$
Je souhaite montrer  que $ d(n)\leq \sqrt{3n}$  et $ d(n)\leq 18^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}},\ \forall n \geq 1$.

En écrivant $d_k(n)=\sum_{d \mid n, d\leq  n^{\frac{1}{k} }}1$  je  montre que $d(n)\leq 2d_2(n)$ et $d(n)\leq d_3(n)(d_3(n)+5)$ .

J'obtiens  $d(n)\leq 2\sqrt{n}$ dans le premier cas. En essayant une relation de type $$d(n)=2\sum_{ d\leq  n^{\frac{1}{2} }}1_{d\mid n}\leq 2(\sum_{ d\leq  n^{\frac{1}{2} }}(1-e(pgcd(n,d)))=2[\sqrt{n}]-2(\sum_{ d\leq  n^{\frac{1}{2} }}\sum_{d'\mid pgcd(d,n)}\mu(d')) =2[\sqrt{n}]-2\sum_{d\mid n:d\leq \sqrt{n}}\mu(d)[\frac{\sqrt{n}}{d}]$$ je trouve quelque pas  chose d'optimale.
Ce qui est loin de m'aider quelqu'un a-t-il  une idée  ?

Keynes

Je trouve finalement la preuve  

noix de totos

Plus généralement, on a l'inégalité plus forte $\tau(n) \leqslant n^{\tfrac{1,5379 \log2}{\log \log n}}$, qui est quasi-optimale pour $n$ grand.

Keynes

Merci