Images des entiers algébriques

Bonjour,

les racines de polynômes unitaires à coefficients entiers font l’objet de représentations numériques assez bluffantes. Il y a quelques années, j’avais publié des images de racines complexes $z=x+iy$ de polynômes à coefficients dans $\{-n,n\}$, de terme constant $1$ et inférieurs à un degré $d$ fixe. Pour chaque degré $d$, il y a $2^{d-1}$ tels polynômes $f(z)$ et l’ensemble de leurs racines révèle un comportement fractal.
Cette recherche expérimentale se poursuit et les données s’accumulent sur la répartition et la densité de ces racines dans certaines régions du plan complexe.
Récemment, des méthodes empruntées à la théorie de Galois ont permis de restreindre la représentation des nombres algébriques du plan complexe à certains de leurs sous-ensembles, révélant ainsi de nouveaux motifs à la jonction de l’algèbre et de l’art numérique.
Selon la méthode employée pour les discriminer (une nécessité vue la densité des nombres algébriques dans le plan complexe), certaines racines s’accumulent le long des géodésiques de $H=\{x+iy \: \vert \: y>0 \}$. D’autres se répartissent en forme de galaxies spirales.
D’autres encore de manière complètement anarchique selon les valeurs des coefficients.

Ci-dessous: un exemple de géométrie des entiers algébriques «rigides »; on nomme ainsi des entiers algébriques de degré $d$ dont l’ordre du groupe de Galois est strictement inférieur à l’ordre du groupe de permutations associé: $\mathfrak{S}_d$. C’est le cas, par exemple, de $\zeta=e^{2i\pi/5}$, entier algébrique de degré $4$ (qui est le degré de son polynôme cyclotomique minimal sur $\mathbb{Q}: \: m_{\zeta}(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$. Les racines de ce polynôme sont les quatre racines primitives cinquième de l’unité et si $\xi$ est l’une d’elle, alors il existe un $\mathbb{Q}$-automorphisme de $\mathbb{Q}(\zeta)$ envoyant $\zeta$ sur $\xi=\zeta^i$ pour un certain $i$.
Le groupe de Galois de $\zeta$ est donc (cyclique) d’ordre $4$, ce qui est bien inférieur à l’ordre de $\mathfrak{S}_4$.

cf: Searching for rigidity in algebraic starscapes, G. Dorfsman-Hopkins, S. Xu.








Réponses

  • Les entiers algébriques rigides de degré $3$ ont tendance à se répartir le long de l’axe réel tandis que ceux de degré $4$ forment des motifs plus complexes. Indépendamment de ses observations, un travail théorique est nécessaire pour tenter d’expliquer ces formes.

    À noter que ces images ont fait l’objet d’une exposition dans une galerie d’art en Islande (Reykjavik) en février 2020.




  • Je n'ai pas la prétention de comprendre grand-chose à ce sujet, mais j'aime bien les jolis dessins. L'un des premiers trucs qui me vient à l'idée, c'est qu'il faudra peut-être une puissance de calcul phénoménale pour créer des images sur des domaines beaucoup, beaucoup plus grands, pour espérer voir plus de formes et de symétries qui correspondent à des idées exploitables.
  • Signification de la taille des points et de leur couleur ? Et "rigide" fait référence au fait que le groupe de Galois est d’ordre inférieur à "degré factoriel" ?
    Après je bloque.
  • En tout cas les images obtenues sont magnifiques !
  • i.zitoussi: Je ne suis pas rentré dans les détails parce que c’est compliqué et que je n’ai pas tout compris 😀 loin s’en faut ! 
    La taille des points est inversement proportionnel à l’inverse de la racine du déterminant de $f$ ajusté à un facteur multiplicatif pour l’adapter à la métrique hyperbolique (ouf !) car tout se passe dans le modèle du disque de Poincaré.
    Il y a aussi les codes couleurs (très importants !) sur lesquels je reviendrai.

    J’ai essayé de télécharger le pdf que je mentionne dans mon premier message mais il semble trop lourd en mémoire pour le forum.
    Comme il est bien expliqué dedans: si $L/K$ est le corps de décomposition d’un polynôme $f \in K[x]$ irréductible et de degré $d$, du fait de l’action transitive du groupe de Galois $Gal(L/K)$ sur l’ensemble des racines de $f$ (pour toute paire de racines de $f$, il existe un $\sigma \in Gal(L/K)$ envoyant l’une sur l’autre), il en résulte que ce groupe contient au moins $d$ éléments et au plus $d!$ éléments.
    D’autre part, il y a plusieurs notions de rigidité (elle peut-être maximale ou pas). Elle mesure grosse modo la « distance » qui sépare l’ordre du groupe de Galois de l’ordre du groupe symétrique associé.

    Homo Topi: avec Mathematica, on peut déjà représenter plus de 400 millions de racines avec leurs codes couleurs et tout ce qui s’ensuit. SAGE est aussi très utilisé.


  • raoul.S
    Modifié (July 2023)
    J’ai essayé de télécharger le pdf que je mentionne dans mon premier message mais il semble trop lourd en mémoire pour le forum.
    Probablement à cause des images. Mais tu peux mettre le lien.

    PS. en fait on dirait que ça marche, il fait 10M mais je me limite quand même à mettre le lien.


  • Raoul.S: merci pour le lien. À la page 10 (generating images), ils expliquent bien comment ces images sont fabriquées. 
    En gros, les points représentant les racines sont dimensionnés en fonction de divers critères algébriques ou géométriques. Et ces choix sont accentués par les « fonctions de brillance ». 
  • biguine_equation
    Modifié (July 2023)
    Soit $H \in \mathbb{N}$. Dans l’ensemble des polynômes de la forme 
    \begin{equation}
    X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n, \:\:\: a_i \in \mathbb{Z}, \: \: \: \vert a_i \vert \leq H, \:\:\: (1\leq i \leq n).
    \end{equation} Est-ce qu’il y en a beaucoup dont le groupe de Galois est $\mathfrak{S}_n$ ? La réponse est: « presque tous ».
    En 1936, van der Waerden conjecturait qu’il n’y avait qu’un petit nombre de polynômes à « petits groupes de Galois ». Il s’appuyait entre autres sur un théorème de Jordan (1870) :

    Du coup, le critère de « rigidité » retenu par les auteurs pour cibler des sous-ensembles d’entiers algébriques est très sélectif !
    Dans un cours introductif de théorie de Galois, on apprend déjà que si $f(x) \in Q[x]$ est un polynôme irréductible de degré premier $p$ et qu’il se décompose complètement sur $\mathbb{C}$ avec exactement deux racines non-réelles, alors le groupe de Galois de $f$ est $\mathfrak{S}_p$.
    Par exemple, le groupe de Galois de $f(x)=x^5-4x+2 \in \mathbb{Q}[x]$ est $\mathfrak{S}_5$. En effet, $f$ possède deux racines complexes conjuguées (on peut le démontrer grâce au théorème des valeurs intermédiaires) et donc son groupe de Galois contient une transposition. Or, on sait que si un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_p$ contient une transposition, alors il les contient toutes et ce sous-groupe est $\mathfrak{S}_p$.

    Voici, pour finir, une caractérisation plus récente et plus « exotique » des polynômes de degré $4$ dont le groupe de Galois est $\mathfrak{S}_4$.

  • biguine_equation
    Modifié (August 2023)
    Je poursuis ma (modeste) exploration de ces géométries nouvelles qui s’affichent sur les écrans d’ordinateurs des labos de recherche.
    Je crois avoir saisi deux, trois trucs nouveaux dont voici une rapide synthèse.
    Pour étudier les dynamiques à l’œuvre dans le plan complexe, il est nécessaire de sélectionner des sous-ensembles $\textbf{finis}$ de nombres algébriques de degré fixe. On cherche des méthodes systématiques pour réduire la taille des coefficients ou celle des racines des polynômes minimaux associés.
    À cette fin, on a recours à des $\textbf{fonctions de hauteur}$ des nombres algébriques.
    Soit $\overline{\mathbb{Q}}$, l’ensemble de tous les nombres algébriques définis sur le corps des rationnels, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres complexes qui sont racines d’un polynôme $f \in \mathbb{Q}[x]$. Soient $A \subset \overline{\mathbb{Q}},\:\: d \in \mathbb{N}, \:\: Q>0$ et $\alpha \in A$ un nombre algébrique de degré $d$. On définit une fonction $h_+$ à valeurs réelles:
    \begin{equation}
    h_+: \:\:A \longrightarrow \mathbb{R}_+ \\
    \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \alpha \longmapsto h_+(\alpha) \leq Q
    \end{equation}
    Il faut rajouter quelques règles élémentaires de calcul dont celle-ci: si $\alpha’$ est une racine conjuguée de $\alpha$, $h_+(\alpha)=h_+(\alpha’)$.
    Une question alors se pose: quel est le comportement asymptotique d’un nombre algébrique $\alpha$ de degré $d$ lorsque $Q \longrightarrow \infty$?

    $\bullet$ Exemples de fonctions de hauteur 
    Si $f(X)=a_dX^d+…+a_1X+a_0$ est le polynôme minimal du nombre algébrique $\alpha$, on définit la « hauteur naïve » de $\alpha$
    \begin{equation}
    H_0(\alpha):= \max \{ \vert a_d\vert,…,\vert a_0 \vert \}.
    \end{equation}
    La mesure de Mähler $M(f)$ de $\alpha$ associé au polynôme minimal $f$ ainsi que ses variantes $p$-adique et logarithmique sont également des fonctions de hauteur. La mesure de Mähler est parfois appelée $\textbf{hauteur absolue}$ de $\alpha$ dans certains ouvrages et notée $H(\alpha)$.
    \begin{equation}
    M(f)=H(\alpha): = \vert a_d \vert \prod_{i=1}^d \max \{1, \vert \alpha_i \vert \}= \vert a_d \vert \prod_{\vert \alpha_i \vert > 1} \vert \alpha_i \vert.
    \end{equation}
    Autre exemple important: la hauteur absolue logarithmique de Weil qui peut s’appliquer à tout point $[x_0:…:x_n] \in \mathbb{P}^n(L)$ où $L$ est un corps de nombres.
    \begin{equation}
    h(\alpha):= \log H(\alpha)^{1/d}.
    \end{equation}
    Il existe donc plusieurs notions de hauteurs pour tout type de situations mais elles vérifient $\textbf{toutes}$ une propriété fondamentale de finitude:

    $\bullet$ Propriété de Northcott (1950)
    Un ensemble de nombres algébriques de degré et de hauteur bornés est toujours fini.

    Je fixe un degré $d$ et une quantité positive $Q$. Si je rencontre une collection de nombres algébriques de degré au plus $d$ et de hauteur au plus $Q$, alors je sais que cette collection est de cardinal fini.
    Je reformule en termes de fonctions de hauteur: pour tout degré fixe $d$ et tout $Q>0$, il n’existe qu’un nombre fini de nombres algébriques $\alpha$ tels que $ h(\alpha) \leq Q$. C’est le cas, en particulier, pour la hauteur naïve $H_0$. Simple et pratique: surtout quand on sait que le moindre ouvert de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ contient une infinité d’éléments algébriques.
    Là encore, cette propriété se généralise à tout point d’une variété projective.
    Cependant, il est important de borner à la fois la hauteur et le degré car il existe des ensembles infinis de nombres algébriques dont tous les éléments sont de hauteur bornée. C’est la cas de l’ensemble de toutes les racines de l’unité.
    Le contre-exemple suivant est tiré du cours « Eights » de Fabien Pazuki:
    \begin{equation}
    2,\:\: \sqrt2,\:\: \sqrt[3]{2},\:\:\sqrt[4]{2},\:\:…,\:\: \sqrt[n]{2}, \:\: …
    \end{equation}
    Il est évident que cet ensemble ne peut vérifier la propriété de Northcott pour la simple et bonne raison qu’il est infini !
    Pourtant, tous les éléments de la suite sont de hauteur bornée (pour la borne absolue logarithmique de Weil).
    Par exemple, $\alpha=\sqrt[3]{2}$ a pour polynôme minimal $X^3-2$ dont les racines sont $\{\sqrt[3]{2}, \omega, \omega^2\}$ avec $\omega$ racine cubique de l’unité. Les racines de l’unité ayant $1$ pour valeur absolue, la hauteur absolue de $\alpha$ est $H(\alpha)=\sqrt[3]{2}$ et $h(\alpha)=\frac{1}{3}h(2)=\frac{1}{3} \log 2 \leq \log 2$.

    Enfin, on ne peut parler de ces recherches sans évoquer le nom d’un spécialiste éminent: William P. Thurston.
    Pour l’anecdote, dans son « Esquisse d’un programme » (1984), Grothendieck encense littéralement les travaux de Thurston. Il va même jusqu’à les comparer aux siens. C’est dire dans quelle estime il tenait son géomètre de collègue !
    L’image ci-dessous est une simulation réalisée par son équipe.
    Elle montre la répartition de racines de polynômes dits $\textbf{post-critiques finis}$. C’est le deuxième concept majeur de la dynamique fondamentale. Ces mots barbares désignent un polynôme ou plus généralement une application rationnelle $f$ de la sphère de Riemann, de degré $d$ et dont les itérés successifs $\{x, f(x), f^2(x),… \}$ en un de ses $2d-2$ points critiques (ceux qui annulent la dérivée de $f$) est un ensemble fini. Il existe alors $n \geq 1$ tel que $f^n(x)=x$. On parle alors de l’orbite finie du point critique $x$, objet de toutes les attentions de la part des chercheurs.
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