Somme de variables aléatoires suivant une loi uniforme indépendantes
Réponses
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Au minimum tu dois te rendre compte que $V_n$ peut prendre des valeurs autres que dans $[0,1].$ Donc la densité que tu as donnée est fausse.Pour le reste :LeVioloniste a dit :$[Z_t = n] = [V_{n-1} \leq t \cap V_n > t]$ alors $\mathbb{P}([Z_t = n]) = \mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_n > t])$
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Q5bJe reprends$V_n$ est la somme de va d'exponentielle. La somme est une loi $\Gamma$. Cela doit se montrer par récurrence avec un produit de convolution ?$f_{V_n}(x)=\frac{x^{n-1}.e^{-x}}{(n-1)!}.\mathbb{1}_{.\mathbb{R}^+}(x)$. Mon intervalle $[0,1]$ était faux.
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Q5bDe $[Z_t = n] = [V_{n-1} \leq t \cap V_n > t] = [V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]$ alors $\mathbb{P}([Z_t = n]) = \mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t])$Je comprends que le $x$ correspond au $V_{n-1}$ et le $y$ correspond au $Y_n$ pour le calcul intégral mais je ne comprends pas le calcul intégral proposé ce n'est pas clair. A-t-on$\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) = \iint_{x \leq t, x+y>t} f_{V_{n-1}}(x). f_{V_{n-1}*Y_n}(x+y) dxdy$ ? Je manque de connaissance pour poser cette intégrale mais quoi ? J'ai lu plein de livres de probas ! Le 'et' entre les 2 évènements est-il un produit entre les densités ?
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Q5c Si $\varphi_n$ densité de $V_n$, $(\varphi_n(x)= \dfrac {x^{n-1}\mathrm e^{-x}}{(n-1)!})$alors$\mathbb{P}(Z_t=n) =\mathbb{P} ((V_{n-1}<t)\cap (Y_n>t-V_{n-1}))$=$\displaystyle\int_0^t \varphi_{n-1}(u)\mathrm e^{-(t-u)} \mathrm du=\dfrac{\mathrm e^{-t} t^{n-1}}{(n-1)!}$Puis $\mathbb{P}(Z_t-1=n)=\mathbb{P}(Z_t=n+1)=\dfrac{\mathrm e^{-t} t^{n}}{n!} \sim \mathcal{P}(t)$
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Pour ta question concernant $\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) = \iint_{x \leq t, x+y>t} f_{V_{n-1}}(x). f_{V_{n-1}*Y_n}(x+y) dxdy$, cette égalité est fausse.
De manière générale, si $X, Y$ sont indépendantes alors $\mathbb{E}\left[\varphi(X, Y)\right] = \displaystyle \int \int \varphi(x, y) \mathrm{d}\mathbb{P}_{(X,Y)}(x, y) = \displaystyle \int \int \varphi(x, y) \mathrm{d}\mathbb{P}_X(x) \mathrm{d}\mathbb{P}_Y(y)$.
Ici, $\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) = \mathbb{E}\left[\varphi(V_{n - 1}, Y_n)\right]$ pour $\varphi(x, y) := \mathbb{1}_{\,x \leq t,\, y + x > t}$ donc $\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) = \displaystyle \int \int \mathbb{1}_{\,x \leq t,\, y + x > t} f_{V_{n - 1}}(x) f_{Y_n}(y) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{x \leq t} \left(\int_{y > t - x}f_{Y_n}(y) \mathrm{d}y \right) f_{V_{n - 1}}(x)\mathrm{d}x$ -
Merci beaucoup. Il fallait comprendre qu'il fallait utiliser l'espérance et les fonctions indicatrices avec $\mathbb{P}(A)=\mathbb{E}(1_A)$ et réécrire l'intersection des événements en faisant en sorte que l'on ait indépendance entre eux. Aussi utiliser le théorème de transfert sur l'espérance avec la technique de la fonction muette ! Puis utiliser Fubini ... C'est technique mais très clair.Professeur de maths sevaus ?
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Q5bPour $t>0$$\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) = \displaystyle \int \int \mathbb{1}_{\,x \leq t,\, y + x > t} f_{V_{n - 1}}(x) f_{Y_n}(y) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{x \leq t} \left(\int_{y > t - x}f_{Y_n}(y) \mathrm{d}y \right) f_{V_{n - 1}}(x)\mathrm{d}x$$\mathbb{P}([V_{n-1} \leq t \cap V_{n-1} + Y_n > t]) =\int_0^t \left(\int_{t - x}^{+\infty} e^{-y} \mathrm{d}y \right) \frac{x^{n-2}e^{-x}}{(n-2)!} \mathrm{d}x = \int_0^t e^{x-t} \frac{x^{n-2}e^{-x}}{(n-2)!} \mathrm{d}x = e^{-t} \int_0^t \frac{x^{n-2}}{(n-2)!} \mathrm{d}x = \frac{t^{n-1}e^{-t}}{(n-1)!}$Q5c
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}(Z_t-1=n)=\mathbb{P}(Z_t=n+1)=\dfrac{\mathrm e^{-t} t^{n}}{n!} \sim \mathcal{P}(t)$
Voilà l'exercice est terminé.
Merci à tous.
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