Nombre d'applications et calcul d'une somme

Flaque

Bonjour
Je regardais l'exercice suivant.

Déterminer le nombre $s_n$ d'applications $f:[1,n] \rightarrow [1,n]$ telles que $f \circ f=f$ .

En remarquant que $Im(f)=Fix(f)$ et en dénombrant selon le cardinal de $Im(f)$, j'obtiens 

 $s_n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}k^{n-k}$.

Je voudrais bien un petit coup de pouce pour calculer cette somme !

Médiat_Suprème

Je ne suis pas certain qu'il existe une formule simple pour cette somme : A000248 - OEIS

Chaurien

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334071/denombrement-des-applications-idempotentes

Chaurien

C'est déjà bien qu'il y ait une expression sous forme de somme.

Flaque

Merci pour ces réponses et ton lien, Chaurien. Comme d'habitude, le forum regorge de trésors cachés !

PS: et accessoirement je suis content de ne pas m'être trompé sur le calcul.