Généralisation fonction de Möbius
La fonction de Möbius peut être définie par $\mu(1)=1$ et pour $n\geq2$ par la formule
$$\sum_{k=1}^{n}\mu(k)\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor =1$$
On peut donc se poser la question du comportement de la fonction définie par $\mu_{\lambda}(1)=1$ et pour $n\geq2$ par la formule
$$\sum_{k=1}^{n}\mu_{\lambda}(k)\left\lfloor \frac{n+\lambda}{k+\lambda}\right\rfloor =1$$
Je subodore qu'une sorte d'hypothèse de Riemann continue de marcher pour cette fonction i.e. $\forall\lambda>-1$ réel fixé
$$\sum_{k=1}^{n}\mu_{\lambda}(k)\ll n^{1/2+\varepsilon}$$
C'est facile à voir pour $\lambda=1,2,3,..$ car sauf erreur j'obtiens pour $\mu_{1}$
$\mu_{1}(2n)=0$
$\mu_{1}(2n+1)=\mu(n+1)$
Pour $\mu_{2}$
$\mu_{2}(3n)=\mu_{2}(3n+2)=0$
$\mu_{2}(3n+1)=\mu(n+1)$
Pour $\mu_{3}$
$\mu_{3}(4n)=\mu_{3}(4n+2)=\mu_{3}(4n+3)=0$
$\mu_{3}(4n+1)=\mu(n+1)$
etc.
Mais pour $\lambda=1/2$ je n'y arrive pas. L'expérience semble confirmer que $\sum_{k=1}^{n}\mu_{1/2}(k)\ll n^{1/2+\varepsilon}$.
Des idées pour caractériser $\mu_{1/2}$?
Voici les 1000 premiers termes de $\mu_{1/2}(n)$ qui déjà semble non bornée (je crois que je me contenterai(s?) de démontrer ce fait!):
1,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,-1,1,1,-1,-1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0,-1,-1,2,1,0,-1,0,0,0,1,0,-1,0,0,-2,0,2,0,0,-1,2,1,-1,0,-1,-1,0,1,-1,0,2,-1,0,2,-1,-1,0,1,-1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,0,1,0,-2,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,-2,0,-1,0,1,-1,0,-1,-1,2,1,-1,-2,1,1,0,2,-1,2,-1,-1,1,-1,1,0,-1,-1,1,1,0,0,-1,-1,0,0,1,1,0,-1,-1,0,0,-1,2,0,1,0,0,-1,1,0,0,0,1,-2,1,1,-2,1,0,0,0,0,-2,0,-1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,-2,1,1,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,-1,2,1,-1,0,-1,-1,0,1,1,0,1,-1,0,3,-1,0,-1,-1,2,0,3,1,-1,-1,2,1,-1,0,-1,-1,0,1,-1,-2,-1,-1,0,1,-1,-2,1,2,-2,1,0,0,1,0,1,2,-1,0,-1,-2,0,2,-1,-2,1,-2,0,1,0,-1,1,0,-1,0,0,-1,1,0,1,1,1,-1,0,0,-1,1,0,1,-1,1,-1,0,1,0,0,-1,1,0,0,-1,2,0,0,1,-1,0,0,1,-2,0,-2,0,0,0,0,2,0,2,1,0,0,0,0,-2,1,-1,-1,0,0,0,1,0,2,0,0,-1,0,1,0,0,0,0,0,0,-2,-1,-1,0,1,0,-1,0,2,0,0,0,0,0,0,-4,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,1,0,-1,0,0,-2,0,0,0,0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,-1,0,1,0,0,-1,-1,0,1,-1,-2,1,1,2,1,-1,2,-1,-1,0,-1,1,0,-1,-1,0,1,-1,0,-1,-1,0,0,-1,-2,1,-2,0,0,0,-2,1,1,0,1,-1,-2,1,-1,0,1,0,2,-3,-1,0,1,-1,-2,1,1,2,1,-1,1,-1,-2,1,-1,1,2,-1,-1,0,2,-1,0,0,0,2,-1,1,0,0,1,-2,-1,1,3,-1,0,0,-1,1,3,0,0,2,2,-1,0,-1,0,0,1,-1,0,1,-2,1,1,-1,0,0,-1,0,-3,2,0,-2,-1,0,1,0,2,-1,-1,1,2,1,-1,0,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,0,0,1,1,1,-1,0,0,1,1,0,-1,-1,0,-1,1,0,-1,-1,0,-1,0,0,-1,0,1,-1,0,-2,-1,0,-1,1,1,0,-1,1,0,-1,0,0,1,1,1,-1,0,1,1,1,1,-1,0,0,-1,1,1,-2,0,1,-2,1,0,1,0,1,0,0,-1,0,0,-1,0,0,1,-2,1,0,-2,1,0,0,1,0,0,0,-1,-1,0,-1,0,0,0,0,0,0,-2,0,-1,0,-1,0,0,1,1,0,0,2,0,3,1,-2,1,0,0,0,0,-2,0,0,-2,0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,-2,-1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1,1,2,0,0,0,-2,0,2,1,0,1,2,0,-1,-1,0,0,0,0,-2,0,0,0,-2,0,0,0,2,2,1,1,0,-2,1,0,-2,0,0,2,0,2,0,1,0,1,0,0,0,0,0,-2,0,0,0,0,0,-4,0,0,-2,1,0,0,-2,0,0,0,0,0,1,2,2,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,2,-2,0,-2,0,0,2,0,1,0,0,1,-2,0,0,0,0,-3,2,1,-1,0,-5,-1,2,1,-1,0,1,1,0,1,-1,0,-1,0,0,-1,1,0,-1,-1,1,3,-1,0,1,-1,0,1,1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,1,-2,-1,-1,0,3,-1,0,1,-1,0,-1,-3,0,2,1,0,1,-1,0,1,-1,2,-1,-1,0,1,2,1,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,2,-1,1,0,0,1,-2,-1,1,0,-3,-2,2,-1,1,0,-1,-2,0,1,-1,2,-1,-1,0,1,-1,1,2,-1,1,3,-1,0,-1,-1,0,-1,1,2,0,-1,0,2,-1,2,-1,-1,2,1,-1,-2,2,-1,0,1,0,-2,1,1,-3,1,0,-2,1,0,-1,3,-1,1,-1,-1,0,2,0,0,1,-1,0,2,-1,-2,0,1,0,1,-1,-1,1,1,0,-1,1,-2,2,1,-2,1,1,-2,1,0,2,1,-1,-2,1,1,-1,1,-1,-2,0,-2,0,0,-1,0,-1,-1,0,2,0,-2,0,-2,1,1,-1,-1,1,0,0,-2,2,0,0,-1,0,1,1,0,-1,0,0,2,-1,0,1,-1,1,1,-1,1
Réponses
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On peut noter que $\lim_{\lambda\rightarrow0^{-}}\mu_{\lambda}=\mu$ tandis que $\lim_{\lambda\rightarrow0^{+}}\mu_{\lambda}=f$, où $f$ est la fonction arithmétique définie par $f(0)=1$ et pour $n\geq1$ par $$f(n)=-\sum_{d\mid n}f(d-1).$$ Elle est dans l'OEIS sous le numéro A338639.Il est donc intéressant de voir si sous HR cette suite vérifie $$\sum_{k=1}^{n}f(k)\ll n^{1/2+\varepsilon}.$$ Des idées ?
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Le problème est que ta relation de convolution $\sum_{n \leqslant x} \mu(n) \left \lfloor x/n \right \rfloor = 1$ n'est pas un outil suffisant pour montrer que $M(x) \ll_\varepsilon x^{1/2+\varepsilon}$ sous HR.
Cette relation de convolution, issue essentiellement de l'égalité $\mu \star \mathbf{1} = e_1$, où $e_1$ est l'élément neutre du produit de convolution de Dirichlet, est un outil algébrique. La majoration $M(x) \ll x^{1/2+\varepsilon}$, sous HR répétons-le, provient essentiellement de la série de Dirichlet de la fonction de Möbius et de la formule de sommation de Perron, donc est un outil analytique.
Pour répondre à ta question, je pense que tu devrais :
(i) ou bien déterminer la série de Dirichlet de ta fonction $\mu_\lambda$ ou $f$ ;
(ii) ou bien redéfinir tes fonctions en jeu.
Note quand même que, à vue de nez, cette fonction $\mu_\lambda$ ne devrait être qu'une variation de $\mu$.
Maintenant, si la fonction de Möbius t'intéresse, il en existe de multiples généralisations. Voir par exemple https://www.amazon.fr/Handbook-Number-Theory-Jozsef-Sandor/dp/1402025467/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&crid=VI741IHONAY2&keywords=handbook+of+number+theory&qid=1690708236&sprefix=handobook+of+number+theory%2Caps%2C81&sr=8-1, chapitre 2. -
Merci noix de totos. Pour $f$ on a la jolie relation pour la série de puissances donnée dans l'OEIS. Sinon je ne sais pas quoi tirer pour $m$ entier de$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda_{m}(n)}{n^{s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n+1)}{((m+1)n+1)^{s}}=-1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{((m+1)n-m)^{s}}$$
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Il va être effectivement difficile d'obtenir une factorisation de ta série de Dirichlet en terme de fonction $\zeta$ de Riemann, je pense.
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