Mesures - tribus

vpf

Bonjour
Dans le cadre de ma préparation à l'agrégation interne, je me replonge dans des domaines (pour ma part, inexplorés depuis un bon moment...).
Je viens notamment de regarder cette vidéo de Gilles Bailly Maitre sur l'introduction à la théorie de la mesure : https://www.youtube.com/watch?v=OmhEVOrHNZY

J'arrive à peu près à suivre (ouf !). Mais pour comprendre dans le détail, j'ai besoin d'avoir une vision globale des choses également (même si cette vision peut rester floue). Mes questionnements portent sur la partie qui va de 13' à 16'. Ai-je bien compris si je dis que : 

1) La définition d'une mesure est faite pour marcher pour la majorité des ensembles (et que cette définition fonctionne pour tout ce qui figure dans le programme de l'agrégation interne).

2) Il existe des ensembles non mesurables (au sens de la définition de la mesure qui est donnée dans la vidéo -> voir 19'30), mais que je n'ai pas vraiment besoin d'en savoir plus (même si je garde dans un coin de ma tête le paradoxe de Banach-Tarski).

3) Une mesure ne se définit qu'à partir du moment où on a bien une tribu.

4) Pour tout espace mesurable, on peut trouver au moins une mesure sur cet espace.

Pour le dernier point, j'aimerais bien des précisions : exactement une ? plusieurs ? une infinité ? ça dépend ?

llorteLEG

1) Oui mais la notion d'ensemble mesurable qui est un artifice en analyse et fait pour que ça marche quasi tout le temps est FONDAMENTALE en probabilités (par exemple, si ta connaissance se résume uniquement au résultat d'un lancer d'une pièce, l'événement "il fera 25°C demain à Kuala Lumpur à 10h38 heure locale" n'est pas un ensemble mesurable à tes yeux)

2) Oui, mais voir point 1 quand même, et faut quand même savoir justifier qu'un ensemble / une fonction sont mesurables par stabilité blabla

3) Oui

4) Y a une infinité, si $\mu$ est une mesure alors $\lambda \mu$ est une mesure (si $\lambda \geq 0$). De plus sur tout ensemble $E$ y a au moins la mesure nulle. Si tu veux un truc moins trivial, tu peux fixer $x \in E$ et prendre $\mu(A) = 1$ si $x \in A$ et $0$ sinon

Homo Topi

A propos du 4), les probabilités donnent un cas intéressant. Pour une loi de probabilité qui est à densité, disons que la densité est par rapport à la mesure de Lebesgue et que c'est une fonction $f$, on réclame que l'intégrale de $f$ soit égale à $1$ pour que la mesure de l'espace total (c'est-à-dire : la probabilité de l'évènement certain, en termes probabilistes) vale $1$. Par exemple, pour la loi normale centrée réduite, la densité est $f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}$ sur $\R$. Sans le facteur $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$, ou avec n'importe quel facteur multiplicatif autre que celui-là, ça donne une autre mesure, toujours à densité par rapport à la mesure de Lebesgue, différente de l'autre, sur le même espace. La seule différence est que la mesure de l'espace total ne sera plus $1$, donc, ce n'est pas une mesure de probabilité.

NicoLeProf

Bonjour @vpf, je me permets de t'écrire pour te dire que l'intégration au sens de Lebesgue n'est pas au programme de l'agrégation interne (donc je te conseille de ne pas t'éterniser dessus).

Après, je comprends que tu veuilles te replonger dedans pour comprendre les concepts associés aux probabilités comme la notion de tribu (qui, elle figure bien au programme).

Je te laisse vérifier mon propos mais c'était le cas quand je l'ai passée : soit il y a quelques mois ! 

vpf

Je retiens donc qu'en effet, il y a toujours la mesure nulle ; et l'autre dont tu parles, IlorteLEG, c'est la fonction indicatrice de l'ensemble A, c'est ça ?

Il y a des choses qui reviennent de loin grâce à vos réponses : la mesure de probabilité était enfouie quelque part dans ma mémoire !

Merci mille fois NicoLeProf, en effet, pas d'intégration de Lesbesgue au programme : je viens de vérifier. J'avais pourtant lu le programme, mais mal il faut croire ;-) J'avais vu ça en licence, mais il y a bien longtemps... Et j'avais cru comprendre que le programme de l'agreg correspondait au niveau L3 ? Je vais quand même continuer ce que j'ai commencé, car comme tu dis, c'est utile pour les probas, et puis aussi pour avoir une vision globale des choses.

vpf

Euh, je ne confondrais pas fonction indicatrice et masse de Dirac ?

Barjovrille

Bonjour,
La mesure décrite plus haut est $\delta_x$ le Dirac en $x$.
Il ne faut pas confondre les "fonctions" qui prennent en argument des points, et les mesures qui prennent en argument des éléments de la tribu.

Pour la question 2) je n'ai pas regardé la vidéo mais tu peux retenir la définition générale un ensemble mesurable c'est un élément de la tribu. Donc quand tu construis ta tribu tu définis qui est mesurable et qui ne l'est pas (par exemple si tu munis un ensemble de sa tribu discrète tout le monde est mesurable).
Tu peux t'amuser sur des ensembles $X$ simples à construire des tribus sur $X$ telle que certains sous ensemble de $X$ soient non mesurables.

vpf

Barjovrille a dit :

Bonjour,
La mesure décrite plus haut est $\delta_x$ le Dirac en $x$.
Il ne faut pas confondre les "fonctions" qui prennent en argument des points, et les mesures qui prennent en argument des éléments de la tribu.

Oui voilà, je sentais bien qu'il y avait un truc. Merci :-)

vpf

Barjovrille a dit :
Pour la question 2) je n'ai pas regardé la vidéo mais tu peux retenir la définition générale un ensemble mesurable c'est un élément de la tribu. Donc quand tu construis ta tribu tu définis qui est mesurable et qui ne l'est pas (par exemple si tu munis un ensemble de sa tribu discrète tout le monde est mesurable).
Tu peux t'amuser sur des ensembles $X$ simples à construire des tribus sur $X$ telle que certains sous ensemble de $X$ soient non mesurables.

Si je comprends bien : quand je construis la tribu, elle est constituée uniquement d'ensembles mesurables, donc si je veux m'amuser, comme tu dis, à construire des tribus sur X de manière à ce que certains sous-ensembles ne soient pas mesurables, je dois choisir des sous-ensembles de X qui ne sont pas des éléments de la tribu, c'est ça ? 

Barjovrille

Il faut faire les choses dans l'ordre. 
"Quand je construis la tribu, elle est constitué uniquement d'ensembles mesurables". Tu ne peux pas parler d'ensemble mesurable avant d'avoir construit une tribu.
Si on prend $X=\{1,2\}$. Je peux construire plusieurs tribus dessus. Exemple $\mathcal{A}=\{\emptyset,X\}$, tu peux vérifier que $\mathcal{A}$ vérifie bien la définition d'une tribu sur $X$. Une fois qu'on a posé $\mathcal{A}$, on a défini qui est mesurable par rapport à cette tribu. Parce que la définition d'être mesurable (par rapport à une tribu) c'est appartenir à la tribu. Ici $\{1\}$ n'est pas mesurable. 
Si maintenant je prends $\mathcal{A}=\{\emptyset,\{1\}, \{2\},X\}$ c'est aussi une tribu sur $X$ (il faut vérifier que c'est bien le cas). Cette fois ci $\{1\}$ est mesurable. 
Et il y a encore d'autres tribus possibles sur cet ensemble.
Et là ce sont des cas faciles, mais quand la construction de la tribu est plus abstraite on ne sait pas toujours exactement quel élément est dans la tribu, donc quel ensemble est mesurable ou pas (quand on a de la chance il y a des théorèmes/propriétés pour nous aider).


Ces histoires, c'est comme en topologie, tu ne peux pas dire qu'un ensemble $A \subset X$ est ouvert avant d'avoir mis une topologie sur $X$.

vpf

Tes explications sont très claires. Je vais vérifier que j'ai bien compris en faisant encore des exercices.

Pour rebondir sur ta dernière phrase et essayer de préciser ma compréhension des choses : tu fais une analogie avec la topologie. Ce que j'ai l'impression de voir, c'est que :

1) La démarche est la même : on considère un espace, puis on détermine des parties de cet espace qui remplissent les conditions de la définition ; à ce stade on peut parler de topologie/d'ouverts ou de tribu/ensembles mesurables.
2) La notion d'ouvert est relative à la topologie choisie tout comme la notion d'ensemble mesurable dépend de la tribu choisie.
3) Dans les exemples que tu donnes, la première tribu fait penser à la topologie grossière et la seconde à la topologie discrète.

Ne pas hésiter à me dire si je raconte n'importe quoi ! Je tâtonne pour construire mes repères...

Barjovrille

Oui voilà c'est ça, l'analogie marche bien entre les 2 théories.

Et pour 3) oui ce sont les mêmes ensembles que la topologie grossière et discrète, et on les appelle tribu grossière et tribu discrète (je me suis trompé quand j'ai dit qu'il y a encore des tribus différentes de celles que j'ai données sur l'exemple, en fait il n'y en a plus).

Math Coss

$\newcommand{\T}{\mathscr{T}}$Exercice : confirmer ou infirmer les assertions suivantes... On se donne un ensemble $X$ muni d'une tribu $\T$ (la flemme de mettre des mathscr partout...). 
La relation définie sur $X$ par $x\sim y$ si pour tout $A$ dans $\T$, $\{x,y\}\subset A$ ou $\{x,y\}\subset X\setminus A$ est une relation d'équivalence. Les classes d'équivalence sont appelées les atomes de $\T$. Ce sont des éléments de $\T$.

Le cardinal d'une tribu finie est $2^a$, où $a$ est le nombre d'atomes.

[Avec une macro AD]