Une hauteur transformée en médiane
Bonjour
Un problème simple ... apparemment.
Soient
• un △ABC
• son orthocentre H
• la A-hauteur h (AH)
• le milieu M du côté [BC]
• la droite m (HM)
• une A-sécante s perpendiculaire à la droite (HM)
• s ∩ (AB) = P, s ∩ (AH) = S, s ∩ (AC) = Q

Montrez que
• PS = SQ
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
• un △ABC
• son orthocentre H
• la A-hauteur h (AH)
• le milieu M du côté [BC]
• la droite m (HM)
• une A-sécante s perpendiculaire à la droite (HM)
• s ∩ (AB) = P, s ∩ (AH) = S, s ∩ (AC) = Q

Montrez que
• PS = SQ
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Note complémentaire
Ce problème est une généralisation de la même propriété lorsque la sécante passe par l'orthocentre.Une solution possible : le théorème du papillon.
Cercle (M,MB) par B et C coupant AB et AC par les pieds des C et B hauteurs.
PQ coupant ce cercle en F et E.
PQ ⊥︎ HM ⇒ FE ⊥︎ HM ⇒ H est le milieu de PQ
le théorème du papillon ⇒ FP = QE et PH = HQ.
-
Bonjour,
Avec Morley circonscrit:clc, clear all, close all syms a b c aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; % Conjugués (Morley circpnscrit) syms t real h=a+b+c; hB=aB+bB+cB; m=(b+c)/2; mB=(bB+cB)/2; % Points H et M k=h+t*(m-h); kB=hB+t*(mB-hB); % Un point quelconque K de (HM) [pk qk rk]=DroitePerpendiculaire(k,h,m,kB,hB,mB); % Droite (PQ) [pah qah rah]=DroiteDeuxPoints(a,h,aB,hB); % Droite (AH) [p pB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,1,a*b,-a-b); % Point P [q qB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,1,a*c,-a-c); % Point Q [s sB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,pah,qah,rah); % Point S Nul=Factor(2*s-p-q) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,Rescassol
-
Merci Rescassol.
Une approche moins analytique ?
Jean-Pol -
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêvesSur la figure ci-dessous les parallélogrammes $AEFG$ et $BDCH$ se correspondent dans une similitude directe d'angle droit!Amicalementpappus
-
Merci pappus
C'est quand même plus simple que les rapports et faisceaux harmoniques que j'avais reçus comme réponse de Ichung Chen.
Sa réponse
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Bonjour!
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