Une hauteur transformée en médiane

gipsyc
Modifié (July 2023) dans Géométrie
Bonjour
Un problème simple ... apparemment.
Soient
• un △ABC
• son orthocentre H
• la A-hauteur h (AH)
• le milieu M du côté [BC]
• la droite m (HM)
• une A-sécante s perpendiculaire à la droite (HM) 
• s ∩ (AB) = P, s ∩ (AH) = S, s ∩ (AC) = Q

Montrez que
• PS = SQ
Cordialement,
Jean-Pol Coulon

Réponses

  • gipsyc
    Modifié (July 2023)
    Note complémentaire
    Ce problème est une généralisation de la même propriété lorsque la sécante passe par l'orthocentre.

    Une solution possible : le théorème du papillon.
    Cercle (M,MB) par B et C coupant AB et AC par les pieds des C et B hauteurs.
    PQ coupant ce cercle en F et E.
    PQ ⊥︎ HM ⇒ FE ⊥︎ HM ⇒ H est le milieu de PQ
    le théorème du papillon  ⇒ FP = QE et PH = HQ.

  • Bonjour,

    Avec Morley circonscrit:
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;  % Conjugués (Morley circpnscrit)
    
    syms t real
    
    h=a+b+c; hB=aB+bB+cB; m=(b+c)/2; mB=(bB+cB)/2; % Points H et M
    k=h+t*(m-h); kB=hB+t*(mB-hB); % Un point quelconque K de (HM)
    [pk qk rk]=DroitePerpendiculaire(k,h,m,kB,hB,mB); % Droite (PQ)
    [pah qah rah]=DroiteDeuxPoints(a,h,aB,hB); % Droite (AH)
    [p pB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,1,a*b,-a-b); % Point P
    [q qB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,1,a*c,-a-c); % Point Q
    [s sB]=IntersectionDeuxDroites(pk,qk,rk,pah,qah,rah); % Point S
    Nul=Factor(2*s-p-q) % Égal à 0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

  • gipsyc
    Modifié (July 2023)
    Merci Rescassol.
    Une approche moins analytique ?
    Jean-Pol 
  • Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves
    Sur la figure ci-dessous les parallélogrammes $AEFG$ et $BDCH$ se correspondent dans une similitude directe d'angle droit!
    Amicalement
    pappus

  • gipsyc
    Modifié (July 2023)
    Merci pappus
    C'est quand même plus simple que les rapports et faisceaux harmoniques que j'avais reçus comme réponse de Ichung Chen.
    Sa réponse

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