Monte Carlo diffusion Hull White 1F

RB_MC

Bonjour à tous
J'essaye d'implémenter un modèle de diffusion en m'aidant de l'article de Vladimir Ostrowski, j'ai implémenté le schéma d'Euler, une méthode en utilisant la loi conditionnelle du terme stochastique du taux et une autre méthode en utilisant la loi jointe du terme stochastique du taux et de son intégrale. Cependant je rencontre un problème en utilisant des données de marché (avec paramètre calibrés) et en ayant une structure par terme pour ma volatilité (interpolation flat left). Mon espérance théorique et mes espérances simulés fittent bien, cependant mes variances simulées ne fittent pas bien avec ma variance théorique. J'ai analysé les données et j'ai remarqué que ma variance théorique diminue lorsque ma vol diminue et augmente lorsqu'elle augmente comme on peut s'y attendre, par contre mes variances simulées restent croissantes même si ma vol diminue ... Donc je me demande après avoir vérifié et revérifié plusieurs fois mon implémentation si ce n'est pas juste une des limites du modèle qui ne capture pas certains phénomènes sur le marché. Quelqu'un aurait une piste à approfondir sur les raisons de ce problème auquel je fais face ? 

Positif

C'est normal que tes variances augmentent, elles sont linéaires en $t$. Et oui le modèle Hull White ne permet pas de calibrer sur une courbe de taux ou une surface de volatilité. En fait, dans un modèle HJM, fixer une variance linéaire en $t$ permet de retomber sur un modèle Hull White donc ça te met la puce à l’oreille : le modèle Hull White est le seul modèle qui convient à une variance $\sigma ( T-t) $.

RB_MC

Merci Positif pour ta réponse.

 Donc en partant de HJM et en supposant une variance linéaire  $\sigma(T - t)$ on peut tomber uniquement sur HW. Donc ma variance théorique et mes variances simulées augmentent avec le temps et si mes variances simulées ne suivent pas vraiment la volatilité observé sur le marché comme le fait assez bien ma variance théorique c'est dû au fait que Le modèle Hull White ne permet pas de calibrer sur une surface de volatilité et donc que ma diffusion Monte-Carlo ne capture pas certains phénomènes sur la volatilité qui sont observés sur le marché ?

Ainsi il n'y a aucun moyen possible de valider le modèle de diffusion par Monte-Carlo avec une surface de volatilité. Par contre si je veux utiliser des formules fermées de HW1F pour des swaptions par exemple (pour calculer un prix à tout temps t de ma timegrid)  j'aurais forcément des meilleurs résultats qu'une volatilité constante, mais si le modèle de diffusion n'est pas validé, utiliser ces formules fermées n'a pas vraiment de sens ? 

Positif

Hum non les surfaces de vol servent à pricer des call - puts qui ne sont pas côtés sur le marché. Par exemple tu as

Call ( K = 100, T = 1 an), Call ( K = 110, T = 1 an ), Call ( K = 125, T = 1 an) et tu veux en tirer le prix de Call ( K = 120, T = 1 an) : tu vas interpoler depuis les valeurs disponibles sur le marché.

Les modèles de diffusion c’est plutôt pour pricer des options path dépendantes ou alors avec des comportements de vol stochastiques. Par exemple je veux un call sur S&P mais seulement si la volatilité reste sous les 60% ; donc mon payoff doit ressembler à $(F_T - K)^+ \mathbf{I}_{ \{ \mathrm{Vix} \leq 0.6 \} }$, et le Vix c'est la volatilité implicite du S&P.

RB_MC

Pardon, je voulais dire aucun moyen possible de valider le modèle de diffusion par Monte-Carlo sachant qu'on utilise une hypothèse volatilité non constante ?

Même si c'est normal que mes variances augmentent car elles sont linéaires en $t$, j'observe des choses bizarres quand décide de mettre mes 10 premières volatilités à 100% pour voir ce qu'il se passe et elles ne redescendent pas à un niveau raisonnable comme on peut le voir : 

Quand on regarde la colonne de Variance théorique qui augmente jusqu'à que la volatilité revienne à un niveau normal le 30 octobre 2023 et donc revient à son tour à une valeur raisonnable. Tandis que mes variances simulées ne redescendent pratiquement pas à un niveau raisonnable ...

et diminue d'une manière infinitésimale.





En temps normal quand  je ne touche pas à mes volatilités j'obtiens ce résultat:



Donc la variance théorique varie dans le sens de la vol mais mes variances simulées augmentent quoi qu'il arrive.