Inclusion de corps et premiers scindés

noradan

$\def\gal{{\rm Gal}}\def\artin#1#2{\genfrac{(}{)}{}{}{#1}{#2}}\def\fp{{\frak p}}\def\fP{{\frak P}} \let\ss\subset\let\s\sigma\def\cO{{\cal O}} \let\f\frac\let\r\sqrt\let\w\wedge\let\imp\Longrightarrow\let\fa\forall\def\Z{{\Bbb Z}}\def\Q{{\Bbb Q}}\def\K{{\Bbb K}}\let\ssi\Longleftrightarrow$ Bonjour
Je voudrais savoir si mon raisonnement est correct.

Soit $f,g\in\Z[X]$ deux polynôme irréducibles. On note $K_f,K_g$ leur corps de rupture.

On pose
$S_f=\{p\:{\rm premier}\mid f\:{\rm totalement\ scindé}\mod p\}.$
et $S'_f=\{p\:{\rm premier}\mid p\:{\rm totalement\ scindé\ dans\ }K_f\}.$
(par conséquent $S_f\ss S'_f$).

Il s'agit de prouver que $K_f\ss K_g\ssi S_g\Subset S_f$ au sens "inclus sauf un nombre fini".

Je dirais déjà qu'à nombre fini de $p$ près (ceux qui divise le conducteur de $\cO_f$, on a $S_f\simeq S'_f$ d'où le sens direct.

Pour prouver la réciproque sous la forme $S'_g\Subset S'_f\imp K_f\ss K_g$, je pose $K=K_fK_g$ et je prouve que si $\s\in\gal(K/\Q)$ est tel que $\s_{|K_g}=id$ alors $\s=id$ sur $K_f$.

Par surjectivité de l'application d'Artin, $\s=\artin{\fP/p}{K/\Q}$, où $\fP$ est un diviseur de $p$ dans $K$. Puisque $\s_{|K_g}=id$ cette restriction $\in\gal(K_g/\Q)$, ce qui est faux en général car ni $K_g$ ni $K_f$ n'est abélien sur $\Q$.
Dans un tel cas il me semble qu'on a bien 

$$id=\artin{\fP/p}{K/\Q}\big|_{K_g}=\artin{(\fP\cap K_g)/p}{K_g/\Q}$$

$p$ est donc totalement scindé dans $K_g$ donc dans $K_f$ par hypothèse donc
$\displaystyle\artin{\fP_f/p}{K_f/\Q}\in[id]$ (classe de conjugaison de $id$) pour $\fP_f|p$
et en particulier pour $\fP_f=\fP\cap K_f$ sauf qu'alors

$\displaystyle\artin{\fP_f/p}{K_f/\Q}=\artin{\fP/p}{K/\Q}\big|_{K_f}=\s_{|K_f}$.

Est-ce correct ?