Une relation à montrer

Keynes

Bonjour à tous 
Je souhaite montrer cette relation $\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0,\mid\Im(\rho)\mid\leq T}\frac{1}{\mid \rho\mid } \ll \int_{1}^{T}\frac{\log(u)}{u}du+\log(T) \ll log(T)^2$ 
Dans le livre Arithmetic Tales  L'auteur  mentionne qu' une sommation simple  donne le resultat .
De la relation  $$\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0,\mid \Im(\rho)\mid \leq T}\frac{1}{\mid \rho\mid }=\sum_{ k=1}^{T}\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0, k- 1< \mid\Im(\rho)\mid\leq k}\frac{1}{\mid \rho\mid }=\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0, 0< \mid\Im(\rho)\mid\leq 1}\frac{1}{\mid \rho\mid }+\sum_{ k=2}^{T}\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0, k- 1< \mid\Im(\rho)\mid\leq k}\frac{1}{\mid \rho\mid }\leq \sum_{\rho:\zeta(\rho)=0, 0< \mid\Im(\rho)\mid\leq 1}\frac{1}{\mid \rho\mid }+\int_{1}^{T-1}\frac{ dN(t)}{t}$$,$ N(t)=card( \rho:0 <  \mid  \Im(\rho)\mid < t,\zeta(\rho)=0)$ avec $dN(t)=O(\log(t))$
 J'obtiens facilement 
$\sum\limits_{\rho:\zeta(\rho)=0,\mid\Im(\rho)\mid\leq T}\frac{1}{\mid \rho\mid }  \ll \log(T)^2$    quelqu'un a-t-il une idée de comment obtenir  $\sum\limits_{\rho:\zeta(\rho)=0,\mid\Im(\rho)\mid\leq T}\frac{1}{\mid \rho\mid } \ll \int_{1}^{T}\frac{\log(u)}{u}du+\log(T)$  ?

Keynes

J'ai vu l'argument  Merci