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Somme de cardinaux

Modifié (July 2023) dans Combinatoire et Graphes
Bonjour
Je cherche à calculer $S=\displaystyle \sum_{X\subset E} (-1)^{|X|}$, avec $|E|=n$.
Je veux la calculer par changement d'indice en posant $B=X^c$. On a alors $S=\displaystyle\sum_{X\subset E} (-1)^{|X^c|}$ donc $2S=\displaystyle\sum_{X\subset E} (-1)^{|X|} (1+(-1)^n) $, d'où $2S=(1+(-1)^n)S$. On voit que si $n$ est impair, $S=0$ et que si $n=0$ alors $S=1$. Mais je suis bloqué pour le cas $n$ pair et l'on devrait aussi obtenir $S=0$.
Merci d'avance

Réponses

  • Modifié (July 2023)
    Bonjour
    Tu peux diviser ta somme en paquets avec $|X|$ constant. Combien de parties $X$ de $E$ de cardinal $k$ ? La somme obtenue, indexée par $k$ allant de $0$ à $n$, ne te fait pas penser à quelque chose ?
  • Modifié (July 2023)
    Yep, on retrouve le binomial qui donne $(1-1)^n$ qui vaut $1$ si $n=0$ et $0$ sinon. Mais je tenais trop à mon changement d'indice, ce n'était pas la meilleure méthode. 
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