Inégalité de Ptolémée
Réponses
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Je pose $z = \frac{a}{|a|^2} - \frac{b}{|b|^2}$
Calculer $|z|^2 = z \bar{z}$ -
Je viens de m'apercevoir qu'OShine a été banni. Par curiosité, c'était quoi la raison ? Le blocage de trop ?
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@raoul.S : bonjour. J'espère que tu vas bien. De loin, je pensais que OS avait changé son avatar. Tu as raison ; il a effectivement été banni. Je n'en connais pas les raisons et, même si je les connaissais, je ne m'autoriserais pas à en discuter. Pour l'heure, je n'en sais pas plus.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Salut @Thierry Poma, c'est bon j'ai trouvé la raison.
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Donc il va basculer sur un autre forum. Le premier qui le trouve a gagné ?
Sage et raisonnable décision cela dit depuis le temps qu'il le méritait (et qu'on était nombreux je pense à le réclamer à titre d'avertissement au moins). -
Très très bon exo de partiel pour mes futurs étudiants de L1 en tout cas (sur la manipulation des complexes) !!! Je l'ajoute à ma collection ! Je rajouterai des indications je pense ou des questions intermédiaires ! ^^'
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
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Cela dit la question 1 est immédiate en utilisant $\dfrac{a}{|a|^2}=\dfrac{1}{\bar{a}}$.
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Si seulement, pour son propre bien, @Oshine se mettait à lire et travailler en profondeur des livres de lycée…
On peut comprendre qu’il n’ait pas envie de travailler les livres actuels, mais il en existe du siècle dernier qui sont très bien réalisés et tout à fait accessibles au professeur qu’il est ; tout en étant d’un niveau quand même largement supérieur à cet exercice qu’il peine déjà à résoudre. Les Lebossé-Hémery, les Gautier-Royer-Thiercé, les Gourion-Chevallet-Lixi… ainsi que les épreuves du baccalauréat des années 80-90.Bref, je ne comprends pas cette obstination à vouloir absolument lire des cours et faire des exercices dans des livres du supérieur sans maîtrise préalable du programme de lycée, alors que ça lui faciliterait tellement la vie : il gagnerait tellement de temps ! Si une personne ici présente arrive à comprendre la logique que sa caboche applique pour persévérer dans cette obstination qui le dessert plus qu’autre chose : merci de me l’expliquer. -
En effet, superbe astuce JLT !
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Ce n'est pas une astuce : on part du membre de droite, on réunit les modules et on utilise quasiment la définition de $1/b$ et $1/a$
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Pour un fil de OShine, je trouve @JLT de mauvaise foi quand il dit "immédiat".Avec sa remarque : $\bigg| \dfrac{a}{|a|^2} - \dfrac{b}{|b|^2}\bigg| = \bigg| \dfrac{1}{\overline{a}} - \dfrac{1}{\overline{b}}\bigg|$. Après ça, il faut encore mettre au même dénominateur, $ \bigg| \dfrac{1}{\overline{a}} - \dfrac{1}{\overline{b}}\bigg| = \bigg| \dfrac{\overline{b} - \overline{a}}{\overline{a}\overline{b}}\bigg|$, séparer le numérateur et le dénominateur, $ \bigg| \dfrac{\overline{b} - \overline{a}}{\overline{a}\overline{b}}\bigg| = \dfrac{|\overline{b} - \overline{a}|}{|\overline{a}\overline{b}|}$, regrouper les conjugués $\dfrac{|\overline{b} - \overline{a}|}{|\overline{a}\overline{b}|} = \dfrac{|\overline{b-a} |}{|\overline{ab}|}$ et se rappeler que $|\overline{z}|=|z|$, $|z|=|-z|$ et que $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ pour écrire que$\bigg| \dfrac{a}{|a|^2} - \dfrac{b}{|b|^2}\bigg| = \bigg| \dfrac{1}{\overline{a}} - \dfrac{1}{\overline{b}}\bigg| = \bigg| \dfrac{\overline{b} - \overline{a}}{\overline{a}\overline{b}}\bigg| = \dfrac{|\overline{b} - \overline{a}|}{|\overline{a}\overline{b}|} = \dfrac{|\overline{b-a} |}{|\overline{ab}|} = \dfrac{|b-a|}{|ab|} = \dfrac{|b-a|}{|a||b|} = \dfrac{|a-b|}{|a||b|}$.Là ça fait 6 égalités de plus que ce qu'il a donné, ce n'est pas immédiat !
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Le rapport du jury dit que la question a été très mal réussie par les candidats.
Il faut être un génie pour réussir cette question niveau X-ENS.
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Je partage une petite capture d'écran d'OShine banni. Afin de ne pas oublier l'effet que ça fait de voir son pseudo à côté du fameux USER BANNED du forum. 🤣
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Hein, du niveau X-ENS ? Je rêve. Cette 1ère question se résout au lycée.
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@dp Je commence à me dire que OShine est ce que l'on pourrait appeler un faussaire. Il est fasciné par les grands concours, mais ce n'est pas un mathématicien, il essaie d'apprendre des démonstrations par cœur (ce qui peut expliquer l'hétérogénéité de ses réponses) dans l'espoir de passer l'agrégation, ou de passer pour fort, mais il n'aime pas vraiment les maths, ne s'y intéresse pas vraiment. Il veut faire croire qu'il est, mais il n'est pas.
J'apprends avec lui qu'on peut être fasciné par un domaine pour lequel on n'a pas d'appétence, et dans lequel on n'est pas doué.
Les énoncés de collège et de lycée ne l'intéressent pas.
Je risque d'être bannie à mon tour pour de tels propos, tant pis. -
C'est ironique Julia : c'est souvent ce que dit OShine quand il n'y arrive pas !J'ai fait un sujet de partiel avec notamment cet exo reformulé dans un vrai problème.N'hésitez pas à me donner vos divers avis ! ^^'Edit : je remets le sujet avec le nom de l'université en moins et j'ai supprimé l'indication de la question 10 (preuve plus simple fournie par Alexique).Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Au cas où voilà ce que ça donnerait :Julia Paule a dit :Je risque d'être bannie à mon tour pour de tels propos, tant pis.
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@raoul.S Ah tu as voulu concurrencer dans le genre faussaire. Pas besoin, j'ai déjà été bannie. Si j'étais bannie, le rouge me changerait du bleu, et surtout cela me ferait des vacances.
@NicoLeProf je suis sur téléphone, on manque de recul pour les messages ironiques. -
@NicoLeProf perso à la toute fin, ta question 12, j'aurais mis une figure et posé comme question de démontrer une inégalité chiffrée. Histoire de leur faire faire directement l'application de l'inégalité en complexe dans le plan, au lieu de leur faire redémontrer encore le même truc "sous forme géométrique".
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Mmmm une idée intéressante, merci Homo Topi ! Je vais voir ce que je trouve comme application intéressante de cette inégalité ! Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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@NicoLeProf
Pour ta question 10 qui est donc la 2 de l'exo d'OS, je n'utilise pas la question précédente (juste l'inégalité triangulaire)... Du coup, comment fais-tu la question 10 (ie la 2) ? -
C'est un sujet donné dans le passé ou pour le futur ?
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@Alexique, voilà comment je procède : soient $x$, $y$, $z \in \mathbb{C}^*$ .D'après la question précédente, on a : $|y-z|=\left |\dfrac{y}{|y|^2}-\dfrac{z}{|z|^2} \right |.|y|.|z|=\left |\dfrac{y}{|y|^2}-\dfrac{x}{|x|^2} +\dfrac{x}{|x|^2} -\dfrac{z}{|z|^2} \right | . |y| . |z|$Or, d'après l'inégalité triangulaire, $\left |\dfrac{y}{|y|^2}-\dfrac{x}{|x|^2} +\dfrac{x}{|x|^2} -\dfrac{z}{|z|^2} \right | \leq \left |\dfrac{y}{|y|^2}-\dfrac{x}{|x|^2} \right | + \left | \dfrac{x}{|x|^2} -\dfrac{z}{|z|^2} \right |$ .Donc $|y-z| \leq \left |\dfrac{y}{|y|^2}-\dfrac{x}{|x|^2} \right | .|y|.|z| + \left | \dfrac{x}{|x|^2} -\dfrac{z}{|z|^2} \right | . |y| . |z| $ .Par conséquent, en utilisant encore la question précédente : $|y-z| . |x| \leq |y-x| . |z|+|x-z|. |y|$ .Enfin, on vérifie facilement que l'inégalité reste valable lorsque $x=0$ ou $y=0$ ou $z=0$ .On a donc l'inégalité recherchée pour tous $x$, $y$, $z \in \mathbb{C}$ .agregagreg2 : c'est un sujet pour le futur xdLorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Mouais, un peu compliqué non ?
$|y-x||z|+|x-z||y| = |zy-zx|+|xy-zy| \geq |zy-zx+xy-zy|=|xy-zx|=|x||y-z|$ juste avec $|a|+|b| \geq |a+b|$ non ?
C'est plutôt pour la 3) qu'il faut déduire donc utiliser la 1... -
Même si le risque est limité, tu mets quand même un sujet sur un forum public, peut-être cacher le nom de la fac ?
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C'est quand même dommage de parler de l'inégalité de Ptolémée sans parler du cas d'égalité (que $x,z,y,w$ sont cocycliques dans cet ordre).
Edit : j'ai changé l'ordre des points. L'énoncé est quand même mal fichu.
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Merci pour vos commentaires, j'ai retiré le nom de l'université et l'indication de la question 10.Cela dit, c'est dommage du coup car les questions 10 et 11 se font sans utiliser la question 9 (sur le fil : les questions 2 et 3 se font sans utiliser la 1).C'est pour ça que je suis presque tenté de laisser l'indication à la question 10 (question 2) pour que la question précédente reste utile sinon autant la supprimer... A voir... D'un autre côté, la preuve donnée par Alexique est tellement plus simple et en maths, on recherche quand-même la simplicité lors des preuves !Je vais regarder JLT, merci !raoul.S : je ne sais pas trop pourquoi tu dis cela car j'ai aussi utilisé l'inégalité triangulaire dans ma preuve. Ma preuve est donc juste plus longue et plus compliquée que celle d'Alexique (dans le sens où on doit faire attention à considérer les nombres dans $\mathbb{C}^*$ pour pouvoir utiliser la question précédente et il y a davantage de manipulations à faire) mais elle utilise globalement les mêmes notions que celle d'Alexique.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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L'énoncé est mal fichu. Je le réécris. Soient $A,B,C,D$ quatre points du plan. On prend $D$ comme origine. Notons $a,b,c$ les affixes de $A,B,C$ et soient $x,y,z$ leurs images par $f:z\mapsto \frac{1}{\bar{z}}$.Comme $|x-z|\leqslant [x-y|+|y-z|$, d'après la question 1 et en chassant les dénominateurs, il vient $|b|\,|a-c|\leqslant |c|\,|b-a|+|a|\,|c-b|$ c'est-à-dire $AC\times BD\leqslant AB\times CD+BC\times AD$ (le produit des diagonales est inférieur ou égal à la somme des produits des côtés opposés).
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Je ne comprends pas ce qui est mal fichu honnêtement, dans la dernière question de mon sujet, il s'agit de choisir les bonnes affixes des points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .Pas de conditions particulières sur les $4$ points et les cas plus "dégénérés" fonctionnent quand-même en choisissant les affixes des $4$ points de cette manière : $A(y)$ , $C(x)$ , $B(w)$ et $D(z)$ . Mais je veux que ce soient les étudiants qui définissent les affixes des $4$ points de cette manière, si j'écris : notons $y$ l'affixe du point $A$ etc., la question n'a plus d'intérêt.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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@NicoLeProf la preuve d'Alexique est plus courte mais elle se restreint aux complexes, tandis que la tienne est valable dans tout espace vectoriel muni d'un produit scalaire (en remplaçant dans l'inégalité les modules des nombres complexes par la norme). Tu ne dois pas sous-estimer ta preuve car en fin de compte elle est mieux, trust meNicoLeProf a dit :raoul.S : je ne sais pas trop pourquoi tu dis cela car j'ai aussi utilisé l'inégalité triangulaire dans ma preuve. Ma preuve est donc juste plus longue et plus compliquée que celle d'Alexique...
Regarde : si on se place dans un espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire alors l'égalité du point 1. de l'exo devient :
pour tous $x,y\in E\setminus \{0\}$, $\|\dfrac{x}{\|x\|^2}-\dfrac{y}{\|y\|^2}\|=\dfrac{\|x-y\|}{\|x\|\|y\|}$ (voir preuve à la fin)
À partir de là je recopie telle quelle ta preuve en remplaçant le module par la norme :
Tu vois, tout fonctionne.NicoLeProf a dit :voilà comment je procède : soient $x$, $y$, $z \in E\setminus\{0\}$ .D'après la question précédente, on a : $\|y-z\|=\left \|\dfrac{y}{\|y\|^2}-\dfrac{z}{\|z\|^2} \right \|.\|y\|.\|z\|=\left \|\dfrac{y}{\|y\|^2}-\dfrac{x}{\|x\|^2} +\dfrac{x}{\|x\|^2} -\dfrac{z}{\|z\|^2} \right \| . \|y\| . \|z\|$Or, d'après l'inégalité triangulaire, $\left \|\dfrac{y}{\|y\|^2}-\dfrac{x}{\|x\|^2} +\dfrac{x}{\|x\|^2} -\dfrac{z}{\|z\|^2} \right \| \leq \left \|\dfrac{y}{\|y\|^2}-\dfrac{x}{\|x\|^2} \right \| + \left \| \dfrac{x}{\|x\|^2} -\dfrac{z}{\|z\|^2} \right \|$ .Donc $\|y-z\| \leq \left \|\dfrac{y}{\|y\|^2}-\dfrac{x}{\|x\|^2} \right \| .\|y\|.\|z\| + \left \| \dfrac{x}{\|x\|^2} -\dfrac{z}{\|z\|^2} \right \| . \|y\| . \|z\| $ .Par conséquent, en utilisant encore la question précédente : $\|y-z\| . \|x\| \leq \|y-x\| . \|z\|+\|x-z\|. \|y\|$ .Enfin, on vérifie facilement que l'inégalité reste valable lorsque $x=0$ ou $y=0$ ou $z=0$ .On a donc l'inégalité recherchée pour tous $x$, $y$, $z \in E$ .
Voici au cas où la preuve de 1. dans un espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire :Pour tous $x,y\in E\setminus \{0\}$, $\left \|\dfrac{x}{\|x\|^2}-\dfrac{y}{\|y\|^2} \right \|^2=\langle \dfrac{x}{\|x\|^2}-\dfrac{y}{\|y\|^2},\dfrac{x}{\|x\|^2}-\dfrac{y}{\|y\|^2}\rangle=\dfrac{1}{\|x\|^2}+\dfrac{1}{\|y\|^2}-2\dfrac{\langle x,y\rangle}{\|x\|^2\|y\|^2}$
$=\dfrac{\|y\|^2+\|x\|^2-2\langle x,y\rangle}{\|x\|^2\|y\|^2}=\dfrac{\|x-y\|^2}{\|x\|^2\|y\|^2}$
En prenant la racine carrée au début de l'égalité et à la fin on obtient bien $\left \|\dfrac{x}{\|x\|^2}-\dfrac{y}{\|y\|^2} \right \|=\dfrac{\|x-y\|}{\|x\|\|y\|}$. -
Si @raoul.S était banni, voilà ce que cela donnerait :
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Tu vois bien que $y,x,w,z$ ne sont pas dans l'ordre alphabétique.NicoLeProf a dit :en choisissant les affixes des $4$ points de cette manière : $A(y)$ , $C(x)$ , $B(w)$ et $D(z)$ .
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Bonjour
Il me semble que 1. et 2. servent à démontrer 3. On peut montrer 3. directement comme ceci:
Puisque $$(x - y)(z - w)= (x - z)(y - w)+(w - x)(y - z)$$
L'inégalité triangulaire donne $$ |x-y||z-w|\leq |x - z||y - w|+|w - x|| y - z| $$ et c'est 3. -
Et alors? En quoi est-ce dérangeant?JLT a dit :Tu vois bien que $y,x,w,z$ ne sont pas dans l'ordre alphabétique.bd2017 a dit :Ah oui bonne idée ! Après, je démontre 3. sans utiliser 1, je n'utilise que 2.
Je te remercie raoul.S, c'est très intéressant de pouvoir généraliser cela aux espaces préhilbertiens !raoul.S a dit :Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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