Reim revisité
Un petit problème inspiré de Mikołaj Znamierowski sur Romontics of Geometry (RG 13014)
Soient :
• 2 cercles sécants c (O,OA) et c' (O',O'A), c ∩ c' = {A, B}
Soient :
• 2 cercles sécants c (O,OA) et c' (O',O'A), c ∩ c' = {A, B}
• les points P et U resp. sur c et c'
• les sécantes tirées de P et U passant par A et B et coupant le cercle opposé en resp. Q,R et V,W
• la réflexion de P par A et B donnant Pa, Pb et de même celle de U donnant Ua,Ub
Reste à construire de manière identique 4 intersections :
Reste à construire de manière identique 4 intersections :
• QPb ∩ c'= I et RPa ∩ c' = J
• VUb ∩ c = K et WUa ∩ c = L

Démontrez :
• Les 4 points I,J,K,L sont fixes quelle que soit la position des points de référence P et U sur leur cercle respectif
• Les points L, A et J sont colinéaires, tout comme les points K, B et I
• LK // AB // JK
• LA = AJ = KB = BI
et donc
• AB = (KL + IJ)/2

Démontrez :
• Les 4 points I,J,K,L sont fixes quelle que soit la position des points de référence P et U sur leur cercle respectif
• Les points L, A et J sont colinéaires, tout comme les points K, B et I
• LK // AB // JK
• LA = AJ = KB = BI
et donc
• AB = (KL + IJ)/2
Belle journée,
Jean-Pol Coulon
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonjour Jean-Pol
Les symétriques de Q, par rapport à A et B ? Ce sont ceux de U, bien sûr !
Mis à part ce détail, merci de ce sujet qui devrait plaire à Jean-Louis Ayme ...
Bien amicalement, Jean-Louis B -
Merci JelobreuilCorrigé !
Le problème original (RG 13014) ne comprenait qu'un seul point X et deux de ses images, les points Y et X'.
La question était alors de montrer que quelle que soit la position de X sur son cercle, le point Z est fixe sur le cercle.
En rajoutant (sur mon schéma, avec mes lettres) un deuxième point U sur le deuxième cercle et les autres points images de P et de U, je caractérise ce point fixe « à la Reim » avec trois autres points fixes.
Sur Geogebra, le mouvement obtenu par déplacement de P et/ou U sur le cercle est très esthétique.Cordialement,
Jean-Pol[Pour dimensionner une image https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2435940/#Comment_2435940 AD] -
Bonjour Jean-Pol,Une faute de français à corriger : "quelque" à remplacer par "quelle que" ...Je ne suis pas encore en mesure de réfléchir à tes questions, car je suis "délocalisé", pour le moment et jusqu'à ce soir !Mais je ne perds pas la chose de vue pour autant ...Bonne journée, bien cordialement, JLB
-
Bonjour Jelobreuil
De nouveau corrigé.
Et complété avec la question originale, simplifiée par rapport à la mienne, mais bien utile en première approche.
Jean-Pol
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Bonjour!
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