Densité

vpf

Bonjour,

Je me replonge dans la topologie. Concernant la notion de densité, j'aurais souhaité quelques éclaircissements.
Je crois avoir compris que la notion de densité existe dans les espaces topologiques en général, et pas uniquement dans les espaces métriques. Vous me dites si je me trompe !
Dans le cours, j'ai lu que dans un espace métrique (E,d), on peut caractériser la densité ainsi : Soit D inclus dans E. D est dense dans E ssi tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de D. 
Et donc là, forcément, je me dis : Si cette caractérisation est énoncée dans un espace métrique et non dans un espace topologique en général, c'est qu'elle n'est pas valable dans un espace topologique en général. Vous me dites si je me trompe !
Et donc je me demande après : Si ce n'est pas valable dans un espace topologique en général, pourquoi ? Et je cherche un contre-exemple... Mais là, je me sens totalement dépassée !!!

Dom

Un sous-ensemble $A$ de $E$ est dense signifie $\bar{\, A\,}=E$. 

L’adhérence est définie dans les espaces topologiques (non nécessairement métriques). 

C’est cette histoire de suite convergente qui perd de sa qualité dans les espaces non métriques il me semble.  

Une discussion ici sur les suites dans les non métriques : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/845631#Comment_845631

Barjovrille

Bonjour,
Il faut clarifier un peu sinon on ne sait pas ce qu'on cherche. J'essaye de le faire sans trop compliquer les choses.
En reprenant tes notations et la définition de densité de Dom, $D$ est dense ça veut dire $\bar{D}=E$. Pour faire le lien avec ta définition, si $E$ est métrique, alors $x \in \bar{D}$ si et seulement si il existe une suite de $D$ qui converge vers $x$ c'est la caractérisation séquentielle de l'adhérence.
Maintenant si $E$  est topologique mais n'est pas métrique la caractérisation séquentielle de l'adhérence n'est plus forcément vérifié. On peut prouver (ce n'est pas très long) soit $A \subset E$, soit $x \in E$, si il existe une suite d'élément de $A$ qui converge vers $x$ alors $x$ est dans $ \bar{A}$. Donc c'est l'autre sens qui saute. On peut reformuler ta question de trouver un contre exemple en : Trouver un espace topologique $E$, avec $A \subset E$ et $y \in \bar{A}$ tel qu'aucune suite d'élément de $A$ ne converge vers $y$. Et on prendra la définition de convergence suivante $(y_n)$ converge vers $y$ si pour tout voisinage $V$ de $y$ il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n\geq N$, $y_n \in V$.
Et on prend la définition de l'adhérence suivante $y \in \bar{A}$ si et seulement si pour tout voisinage $V$ de $y$, $V \cap A \neq \emptyset$.

Bon maintenant que tout est posé je pense que la question n'est pas facile .

philou22

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Partie_dense#:~:text=En%20topologie%2C%20une%20partie%20dense,de%20partie%20nulle%20part%20dense.

raoul.S

vpf a dit : 

Et donc je me demande après : Si ce n'est pas valable dans un espace topologique en général, pourquoi ? Et je cherche un contre-exemple... 

Par exemple l'espace $E:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie produit. Le sous-ensemble $D$ des fonctions nulles partout sauf en un nombre fini de points est dense dans $E$, dans le sens mentionné par Barjovrille et Dom ci-dessus, c'est-à-dire que $\overline{D}=E$. Tu peux vérifier que la fonction constante égale à $1$ ne possède pas de suite de $D$ qui converge vers elle.

PS. ce qui prouve en passant que $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ n'est pas métrisable.

vpf

Merci pour ces réponses !

Les clarifications de Barjovrille me parlent bien : je comprends ce que l'on cherche, enfin, j'ai l'impression. Mais j'essaie d'avoir une idée, même vague, de ce qui fait que la caractérisation séquentielle de l'adhérence n'est plus forcément vérifiée dans un espace topologique non métrique. Quel est le "truc" qui fait que ça marche dans un espace métrique ? C'est le fait qu'on ait une distance ?

raoul.S

vpf a dit :

Quel est le "truc" qui fait que ça marche dans un espace métrique ? C'est le fait qu'on ait une distance ?

C'est le fait que tout point possède une base dénombrable de voisinages. Plus concrètement dans un espace métrique $E$ si tu prends un points $x\in E$ alors les boules $B(x, 1/n)$ centrées en $x$ et de rayon $1/n$ forment une base dénombrable de voisinages de $x$ (traduction : n'importe quel ouvert qui contient $x$ contiendra une de ces boules).

vpf

Merci beaucoup, raoul.S !
En effet, je fais immédiatement le lien avec ce que je viens de lire dans les Contre-exemples de B. Hauchecorne :-)
Maintenant que je sais ça, je suppose qu'on trouve une suite qui converge vers x en prenant ses éléments dans les boules de centre x et de rayon 1/n ?
Et finalement, le fait d'être dans un espace métrique permet de toujours trouver une base dénombrable de voisinages, grâce aux boules ; ce qui n'est pas le cas si on est dans un espace topologique qui n'est pas métrique. C'est ça ?

Mais j'ai encore une question : Dans un espace topologique en général, y a-t-il un lien entre le fait d'être séparé et le fait que pour tout point de l'adhérence on puisse trouver une suite d'éléments convergeant vers ce point ?

raoul.S

vpf a dit : 

Maintenant que je sais ça, je suppose qu'on trouve une suite qui converge vers x en prenant ses éléments dans les boules de centre x et de rayon 1/n ?

Oui.

vpf a dit :

Et finalement, le fait d'être dans un espace métrique permet de toujours trouver une base dénombrable de voisinages, grâce aux boules ; ce qui n'est pas le cas si on est dans un espace topologique qui n'est pas métrique. C'est ça ?

Oui c'est ça. Une remarque quand même : le fait d'avoir une base dénombrable de voisinages est une condition suffisante pour que l'adhérence soit complètement définie par les suites, mais ce n'est pas une condition nécessaire. Tu peux avoir des espaces qui n'ont pas de bases dénombrables de voisinages (dans le sens que toutes base de voisinages est plus que dénombrable) et qui pourtant ont l'adhérence de leur parties "complètement définie par les suites". Voir ICI pour plus de détails.

vpf a dit :

Dans un espace topologique en général, y a-t-il un lien entre le fait d'être séparé et le fait que pour tout point de l'adhérence on puisse trouver une suite d'éléments convergeant vers ce point ?

Non, par exemple comme mentionné ICI, l'espace des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie produit est séparé et pourtant la fonction constante égale à $1$ n'est pas limite d'une suite d'éléments de $D$.

Dernier point : si tu veux retrouver dans les espaces topologiques généraux les résultats que tu connais avec les suites alors il faut s'intéresser à la notion de filtre. C'est, d'une certaine façon, une généralisation de la notion de suite.

Par exemple si $E$ est un espace métrique et $A\subset E$ alors $x\in \overline{A}$ ssi il existe une suite de $A$ qui converge vers $x$. Dans le cas des espaces topologiques généraux l'énoncé ci-dessus devient : $x\in \overline{A}$ ssi il existe une base de filtre dans $A$ qui converge vers $x$.

vpf

Merci pour toutes ces précisions !