Ces suites existent-elles ?

Bonjour,
Les suites d'entiers $u_k$ où $k\ \in \mathbb{N}$ (*) telles que les ensembles $u_k$ sont non-finis et forment une partition de $\mathbb{N}$, existent-elles (et ont-elles un nom) ?
Merci,

* sans que ça ne préte à confusion, je peux nommer aussi, par commodité $u_k$ , l'ensemble des éléments de la suite $u_k$.

Réponses

  • Justement, le « par commodité » est assez maladroit dans cette question. Je ne sais pas si je l’ai comprise. 
    « Les ensembles $\{u_k\}$ » ce n’est pas très clair.

    Prenons la suite $u$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n=n$. 
    Qu’est-ce qui ne marche pas ? Qu’est-ce qui marche ?

    Si cette suite pose des problèmes, prenons la suite $v$ telle que pour tout entier $n$, $v_n= 100n$. 

  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2023)
    $u_0$ est une suite, $u_2$ une suite, et ainsi de suite...
    Si je pouvais parler de suite de suites et que j’appelais $u$ la suite précédente, ma question serait : $u$ existe-elle ?
    En prenant les conditions sur les suites et ensembles $u_k$ du premier message bien sûr.
    Mais comme je ne sais pas si je peux parler de suite de suites de manière adaptée, mon premier message n'est pas évident à saisir.
  • Je comprends plutôt cela comme, par exemple : je note $p_n$ le $n$-ième nombre premier

    $u_{1, k} = 2k$
    $u_{n, k} =$ le $k$-ième multiple de $p_n$  qui soit premier avec $p_{n-1} !$
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Une suite est une application de $\mathbb N$ dans un ensemble $E$, autrement dit un élément de $E^{\mathbb N}$, si $E = \mathbb N^{\mathbb N}$ vous avez vos suites de suites
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Foys
    Modifié (July 2023)
    Un exemple de partition infinie de $\N$ en ensembles infinis est donné par $n\mapsto \{2^n (2k+1) -1 \mid k \in \N\}$. Ce sont l'existence et l'unicité de la factorisation d'un nombre comme produit d'une puissance de $2$ et d'un nombre impair qui sont mises à contribution ici.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Dom
    Dom
    Modifié (July 2023)
    Ha oui, ok. Je formule cela en français. 
    La première suite : la table de 2 en partant de $0$.
    La deuxième suite : la table de 3 dont on enlève les éléments de la table de 2.
    La troisième suite : la table de 5 dont on enlève les entiers présents dans les suites précédentes.
    La quatrième suite : la table de 7 dont on enlève les entiers présents dans les suites précédentes. 
    etc. avec les nombres premiers. 
    On peut en créer plein d’autres avec ce premier modèle.
  • Ok et il n'y a pas de théories ou de travaux conceptuels d'une autre théorie plus globale sur ces suites ?

    Edit : du genre, ça change quelque chose si je rajoute la condition que les suites $u_k$ ne sont pas forcément monotones ?
  • Cela ne change rien (dans le fond) car la condition principale porte sur les images des suites, en ordonnant ces suites comme on veut, on fabrique de nouvelles suites répondant à la question sans changer les images. E§tes-vous sûr d'avoir besoin de suites ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Il y a des choses qui s'en rapprochent.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2023)
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
    J'ai compris c'est parfaitement exact donc non en effet.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2023)
    Boécien a dit :
    Il y a des choses qui s'en rapprochent.
    Réf : PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY - Volume 124, Number 2, February 1996 - INFINITE COVERING SYSTEMS OF CONGRUENCES WHICH DON’T EXIST
    Merci bcp, c'est parfait et au-delà de mes attentes ;).
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