Inverse d'une matrice niveau L1

Dr_Piradian

Bonjour, si A est une matrice carrée et B telle que AB=I, alors comment démontrer qu'on a forcément BA=I ?
J'ai essayé de résoudre, mais vraiment je ne trouve pas.

philou22

De mémoire il faut penser endomorphisme et utiliser le théorème du rang.

Dr_Piradian

je précise que je suis nouveau et que je ne sais pas comment écrire des symboles de formules mathématiques avec le clavier d'ordinateur.

Dr_Piradian

Merci philou, j'ai vu les morphismes, en revanche je n'ai pas vu les endomorphismes et ne sais pas ce qu'est le théorème du rang, donc pour l'instant la réponse ne m'aide pas beaucoup. Mais quand j'aborderai ces notions, peut-être que je comprendrai.

Area 51

Par l'absurde $\rightarrow$ unicité de l'inverse dans le $\mathcal{M}_n(\Bbbk)$ qui va bien.

philou22

En ayant une vision des matrices comme des tableaux de nombres avec une multiplication et addition définies coefficient par coefficient, je pense que c’est très laborieux à démonter. As-tu déjà étudié les espaces vectoriels de dimension finie ?

Math Coss

@Area 51 : Cela ne peut pas être un calcul formel (genre, multiplier à gauche ou à droite par $A$ ou $B$). En effet, il y a des anneaux très proches pour lesquels $AB=\mathrm{id}$ n'entraîne pas $BA=\mathrm{id}$, par exemple l'anneau des endomorphismes de $\mathbf{k}[X]$ – par exemple, aux erreurs d'indice et à permutation de $A$ et $B$ près, $A:1\mapsto 0$ et $A:X^j\mapsto X^{j-1}$ ($j\in\N^*$) et $B:X^j\mapsto X^{j+1}$ ($j\in\N$).

Dr_Piradian

ok, si AB=I, on sait qu'il existe un produit de matrices élémentaires E tel que EA=I,
donc on a l'existence, il faut démontrer maintenant que E=B,

E(AB)=E
(EA)B=B, donc E=B.

J'espère que je n'ai pas zappé une étape nécessaire dans la démonstration.

philou22

Si une matrice élémentaire est une matrice avec un 1 et des zéros partout ailleurs, je t’assure que si $n \geq 2$, l’égalité $EA=I$ est impossible pour des raisons de dimension de sous-espaces vectoriel que tu ne connais probablement pas encore.

Dom

Bonsoir,
je ne comprends pas le terme « élémentaire » dans ce texte.
Cordialement
Dom.

Dr_Piradian

Dom, une matrice élémentaire est une matrice identité à laquelle tu appliques l'une des 3 opérations de Gauss

1. multiplier une ligne pas lamda (différent de zéro)

2. ajouter à une ligne Li la ligne Lj multipliée par lamda (i différent de j)

3. permuter 2 lignes

Dr_Piradian

philou, je ne pense pas qu'une matrice élémentaire puisse être composée uniquement d'un 1 avec des zéros partout ailleurs. J'ai donné la définition de matrice élémentaire ci-dessus

Dom

Ok. C’est bien la définition que j’avais en tête. Cela m’a surpris en lisant ta phrase car c’est une assertion qui m’est apparue originale. Je n’ai jamais vu cette approche là pour résoudre cet exercice. 

philou22

« si AB=I, on sait qu'il existe un produit de matrices élémentaires E tel que EA=I » Pourquoi ?

Dr_Piradian

philou, c'était démontré dans mon livre de maths, et la démonstration n'éxigeait pas de savoir qu'on a BA=I. Je vais essayer de donner la démonstration.

Dr_Piradian

Il existe une unique matrice échelonnée réduite U obtenue à partir de A (matrice nxp) par des opérations élémentaires sur les lignes. Autrement dit, il existe un produit E de matrices élémentaires tel que EA donne une matrice échelonnée réduite U, et U est unique. Mon livre ne démontre pas l'unicité de U.

Si A est une matrice nxn, A est inversible équivaut à ce que U=I.

Démonstration : si U=I, alors EA=I et donc A est inversible.

Dans l'autre sens, par la contraposée, on suppose U différent de I, et on veut démontrer que A n'est pas inversible.

la dernière ligne de U est nulle, car U est échelonnée réduite, et si la dernière ligne n'était pas nulle, alors il y aurait un pivot sur chaque ligne et donc U serait égal à I

Pour toute matrice carrée V, la dernière ligne de UV est nullle, donc UV ne pourra jamais être égal à I, donc U n'est pas inversible, et donc A ne l'est pas non plus, car si A était inversible, on aurait avec U=EA que U serait inversible en tant que  produit de matrices inversibles.

philou22

Tu ne peux a priori pas encore utiliser la notion d’inversibilité pour résoudre cet exercice car c’est une étape de construction de cette notion. J’ai fait quelques recherches sur internet et je pense que sans considération de rang d’une matrice c’est vraiment difficile à démonter. C’est à dire sans voir les matrices comme des applications linéaires d’un espace vectoriel de dimension finie dans lui même. Cependant n’hésite pas à chercher ! Peux-tu le démonter par le calcul  si $n=2$ ?

Dr_Piradian

Pourtant, la démonstration que j'ai donné ne présupposait pas qu'on ait BA=I, par conséquent je ne vois pas où est le problème.

Je vais essayer de faire le calcul avec n=2.

Dr_Piradian

lorsque dans ma démonstration je dis A est inversible, il faut comprendre par là AB=I sans que nécessairement BA=I.

Dr_Piradian

On n'utilise jamais l'hypothèse BA=I

Dr_Piradian

les calculs sur les coefficients avec n=2 me retournent le cerveau. Je laisse tomber.

philou22

Tu vois que même avec des matrices 2X2 c’est compliqué. Tu verras la beauté conceptuelle de la chose d’ici peu.

NicoLeProf

C'est compliqué... Déjà le mot "élémentaire" est polysémique : il y a la déf de Dr_Piradian que je ne connaissais pas et celle de philou22 que je trouve plus classique, plus couramment utilisée.

D'autre part, tout dépend de comment nous construisons le groupe $GL_n(\mathbb{K})$ des matrices inversibles à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ .

Si nous voyons $GL_n(\mathbb{K})$ comme le groupe des éléments inversibles de l'anneau $(\mathscr{M}_n(\mathbb{K}),+,\times)$, la preuve me paraît évidente.

JLapin

Dr_Piradian a dit :

je précise que je suis nouveau et que je ne sais pas comment écrire des symboles de formules mathématiques avec le clavier d'ordinateur.

Peux-tu aussi préciser quel est ton niveau d'étude et l'objectif de ta question ? Ca aidera grandement à la pertinence des réponses à ta question fort intéressante mais très ambitieuse.

Chalk

Bah dans ce cas toute la preuve consiste à montrer que $A$ et $B$ appartiennent justement bien à ce groupe ...

Je ne sais même pas s'il est possible de montrer de manière directe et calculatoire que $AB=I$ implique $BA=I$, i.e. sans recourir à des notions de dimension, d'endomorphisme inverse.

J'imagine que oui mais ça doit à être assez horrible. Peut-être en tentant avec l'algorithme de Gauss sans tomber dans un truc circulaire, comme ce qui a été proposé ci-dessus.

Dom

C’est écrit « niveau L1 ». Par contre mi-juillet on ne sait pas où l’on est : au début ? À la fin ?
À quel moment dans le chapitre ?
Il faudrait connaître « les interdits ». 

SkyMtn

Sans utiliser le théorème du rang, on peut utiliser le déterminant et la comatrice. Ça fonctionne avec les matrices carrées à coefficients dans un anneau (commutatif unitaire) quelconque par généricité. 

Sinon, c'est un résultat difficile à démontrer sans le théorème du rang ou sans le déterminant. 

Dr_Piradian

A JLapin et à Dom, mon niveau est bac S (que j'ai obtenu il y a 22 ans), je me suis mis récemment à étudier en autoditacte les maths niveau L1 il y a 2 semaines, je ne suis inscrit à aucune université. L'objectif de ma question est seulement de comprendre ce que j'étudie.

Dom

Ha ok. Merci beaucoup, ça devrait aider à aider.
Parfois on voit cela aussi dans le langage des fonctions (injective, surjective, inverse à gauche, inverse à droite, etc.). 

Une rapide recherche et on retombe sur cet exercice sur ce forum ou d’autres. J’ai vu une discussion de 2004 sur le sujet tout à l’heure. J’essaye de glisser des liens demain. 

Izolg

Dans mes souvenirs on peut s'en sortir avec presque rien pourvu qu'on soit familier avec les espaces vectoriels, les familles libres/génératrices et les bases et aussi si on sait voir une matrice comme un morphisme linéaire entre espaces vectoriels.

Notons $f_A : K^n \to K^n$ (resp $f_B : K^n \to K^n$) le morphisme linéaire associé à $A$ (resp $B$).

Fait 1 : on réécrit $AB=I$ comme $f_A\circ f_B=id$.

Fait 2 : on déduit de $f_A\circ f_B=id$ que $f_A$ est surjective et que $f_B$ est injective.

Fait 3 : Si $F$ est un sous espace vectoriel  de $K^n$ de dimension $d$ alors $f_A(F)$ est un sous espace vectoriel de $K^n$ de dimension au plus $d$. En effet, si $(e_1,\dots,e_d)$ est une base de $F$ alors $(f_A(e_1),\dots,f_A(e_d))$ est une famille génératrice de $f_A(F)$.

Fait 4 : $f_B$ est surjective. Par l'absurde, si ce n'est pas le cas $F:=Im(f_B)$ est un sous espace vectoriel strict de $K^n$ donc de dimension $d\leq n-1$. Mais alors par le fait 3, $f_A(F)$ est un sous espace vectoriel de $K^n$ de dimension au plus $d\leq n-1$. Ainsi $Im(f_A\circ f_B) = f_A(f_B(K^n)) = f_A(F)$ est de dimension au plus $d$ ce qui est contradictoire avec $f_A\circ f_B = id$. Ainsi $f_B$ est surjective.

Fait 5 : $BA=I$, en effet en combinant le fait 4 et le fait 2, on voit que $f_B$ est bijective. De $f_A\circ f_B = id$ on trouve $f_A = (f_B)^{-1}$ et donc $f_B \circ f_A =id$ ce qui se traduit matriciellement $BA=I$.

gebrane

Le lien que cherche Dom  https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/1224759#Comment_1224759

Ericpasloggue

La démonstration donnée par ev dans le lien précédent apparait dans l'article de F. Sandomierski, An Elementary Proof of the Two-sidedness of Matrix Inverses, Mathematics Magazine vol 85, n°4, 2012, p. 289.

Voici une autre démonstration, publiée dans le College Mathematics Journal. http://math.fon.rs/files/Two-sidedness-of-the-Matrix-Inverse54.pdf

gebrane

Je trouve la preuve de Tryss élégante

Dom

Ci-dessous une preuve qui reprend des éléments déjà vus. 

Seule question : « injectif donc bijectif » n’est pas justifié. C’est en général le théorème du rang. Mais ce n’est pas une obligation.  

NicoLeProf

Mmmm, tentative intéressante mais pas entièrement d'accord avec l'auteur(e) de la preuve. Le passage "il est donc bijectif" est une utilisation du théorème du rang sous-entendue.

Si vraiment on veut se passer du théorème du rang, on peut essayer de montrer la surjectivité de $\phi$ à la main.

Edit : oui, Dom l'avait déjà dit avant la copie d'écran lol, doublon ! J'appuie ce que Dom dit du coup !

Dom

Heu… oui c’est ce que je disais 😀

Math Coss

Je pense que l'OP souhaitait une démonstration à base d'opérations élémentaires sur les rangées ou de réduction à la forme échelonnée, ce qu'iel n'a pas obtenu.