Des triplets de cordes concourantes

jelobreuil
Modifié (July 2023) dans Géométrie
Bonjour à tous
Je vous propose d''étudier, avec les moyens et méthodes que vous voudrez, la configuration suivante :
Soit $ABC$ un triangle, $P$ un point, $A_1$, $B_1$ et $C_1$ les deuxièmes points d'intersection des céviennes $AP$, $BP$ et $CP$ et du cercle circonscrit à $ABC$, et $A_2$, $B_2$ et $C_2$ les deuxièmes points d'intersection des cercles de diamètre $AP$, $BP$ ou $CP$, respectivement, avec le cercle circonscrit à $ABC$.
Montrer que les trois cordes $A_1A_2$, $B_1B_2$ et $C_1C_2$ sont concourantes.
Dans le cas particulier où $P$ est $H$, l'orthocentre de $ABC$, montrer que les droites (en vert sur la deuxième figure) symétriques de ces cordes par rapport aux céviennes (hauteurs) sont également concourantes (c'est ma deuxième figure, mais je l'ai tracée en premier lieu, hier ... Je vous prie de m'excuser pour les variations de notation, d'un jour à l'autre).
Bien cordialement, JLB
    

Réponses

  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (July 2023)
    Bonjour Jean-Louis
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol4.html
    puis
    La promesse-Le tour-Le prestige  p. 5-12.
    Amitiés
    Jean-Louis
  • jelobreuil
    Modifié (July 2023)
    Bonjour Jean-Louis,
    Merci pour cette référence et cette piste de réflexion ... En effet, le problème que j'ai posé est assez similaire à celui que tu as traité ...
    Je vais essayer de trouver la pascalienne appropriée ! Mais je crains bien de ne pas y arriver tout de go, et encore, si toutefois j'y arrive ! ...
    Amitiés, Jean-Louis

    Pour appliquer le lemme indiqué, il me semble qu'il y a une difficulté, en ce que pour reprendre tes notations, chez moi ce sont les droites A'A", B'B" et C'C" qui sont concourantes, et que les points A et A', B et B', C et C' ne peuvent pas simplement s'échanger, me semble-t-il ...    

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