Connexité par arcs

Blanc

Bonjour
Merci de me donner un coup de pouce pour ce qui suit.

JLapin

Tu as démontré que chaque point de $D$ est un point intérieur: c'est l'une des nombreuses caractérisations (très proche de la définition) d'un ouvert.

Blanc

Bonjour,

En effet j'avais oublié cette caractérisation d'un ouvert.

Je suis confronté en topologie à une foison de résultats. Comment faire pour retenir tant de choses. L'algèbre ou l'analyse ne me paraissent pas solliciter la mémoire de manière aussi intensive!

Merci beaucoup

Chalk

Comme pour tous les autres domaines des mathématiques, il faut étudier et pratiquer assez jusqu'à se construire naturellement une architecture et  des images mentales puissantes, qui ont l'avantage de se retenir facilement et durablement, en indiquant pourquoi et comment les choses sont connectés et les idées des preuves. 

Ainsi tu retiendras facilement qu'un ensemble est ouvert si et seulement il est inclus dans (ou égal à) son intérieur.

Il n'y a pas de secret. Par exemple, la première fois qu'on étudie une théorie on peut n'y rien comprendre, on voit des suites de définitions et théorèmes qui ne veulent rien dire pour nous donc on apprend par coeur ; la deuxième fois, on commence à retenir les théorèmes importants, comment ils s'appliquent, les techniques habituelles des preuves, la troisième fois on trouve tout l'enchaînement logique, la quatrième fois on est quasi capable de refaire son propre plan du cours, on connaît les idées principales des grands théorèmes, etc.

La première fois que j'ai étudié la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue je me suis dit que ça n'avait aucun sens, aucune logique, que tout sortait de nulle part. Depuis, elle est tellement puissante et logique pour moi à mon tout petit niveau que je ne conçois plus de "travailler" sans, c'est l'intégrale de Riemann qui me paraît ad-hoc, avec trop de contraintes.

JLapin

@Blanc
Qu'as-tu comme définition d'un ouvert ? D'un voisinage ?