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Critère de primalité lucasien pour les nombres répunit

Modifié (July 2023) dans Arithmétique
Bonjour!
Quelqu’un peut-il prouver ou infirmer la conjecture suivante:

Soit $P_m(x)=2^{-m}\cdot \left(\left(x-\sqrt{x^2-4})^m+(x+\sqrt{x^2-4}\right)^m\right)$ . On définit par récurrence la suite d'entiers par: $S_0=P_{25}(7)$ et $\forall i \in \mathbb{N}$ $\quad S_i=P_{10}(S_{i-1})$ . Soit $p$ un nombre premier supérieur à $2$. Le nombre  $R_p=\dfrac{10^p-1}{9}$ est premier si et seulement si $S_{p-2}=123 \pmod{R_p}$ .

Nombres $p$ tels que $R_p$ est premier: A004023
Calcul numérique: SageMathCell
Mots clés:
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