Nombre d'orbites pour une action de groupe

Bound
Modifié (July 2023) dans Algèbre
J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
"On suppose que $\Z/35\Z$ opère sans point fixe sur un ensemble $E$ de cardinal $53$. Quel est le nombre
d'orbites pour cette action ?"
Je me suis dit qu'il faut utiliser la formule de Burnside mais pour cela, il faut utiliser les cardinaux de points fixe.
Or, cela me semblerait bizarre que l'élément neutre ne fixe pas le groupe, et encore plus bizarre que par somme,
le nombre d'orbites soit égal à 0 (car dans ce cas $(\forall g \in \Z/35\Z,\  card(Fix(g))=0 )\Rightarrow \frac{1}{card(\Z/35\Z)}\sum_{g \in G} card(Fix(g))=0)$.
Est-ce qu'il serait possible de m'aider à résoudre cet exercice.
Je vous en serai reconnaissant.
Merci d'avance.

Réponses

  • Thierry Poma
    Modifié (July 2023)
    Bonsoir
    Soit $x$ un point de $E$. Pour rappel, $\mathrm{Fix}_G(x)=\left\{\begin{array}{c|c}g&g\in{}G\text{ et }g\cdot{}x=x\end{array}\right\}$, lequel est un sous-groupe de $G$, donc contenant au moins le neutre de $G$ (i.e. il n'est jamais vide !!). Pour rappel, $x$ est un point fixe pour l'opération de $G$ sur $E$, si $\mathrm{Fix}_G(x)=G$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Thierry Poma
    Modifié (July 2023)
    Mais il vrai que $\mathrm{Fix}_E(g)=\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in{}E\text{ et }g\cdot{}x=x\end{array}\right\}$, lequel peut être vide, ce qui est le cas dans ton exo, vu l'hypothèse.
    $\mathrm{Fix}_E(e)=\cdots$
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • La question est : que veut dire sans point fixe ?
  • JLapin
    Modifié (July 2023)
    Probablement qu'il n'existe pas $x$ dans $E$ tel que $\forall g\in G, g\cdot x= x$, autrement dit, pas d'orbite réduite à un point.
  • AD
    AD
    Modifié (July 2023)
    Ou encore qu'il n'y a pas d'orbite à 1 seul élémént.
    Le cardinal d'une orbite est l'indice du stabilisateur d'un élément de l'orbite, donc un diviseur de $35$.
    Les orbites sont donc de cardinal $1,\ 5,\ 7,\ 35$. Or, $1$ est écarté par hypothèse.
    Soient $n_5,n_7,n_ {35 }$ les nombres d'orbites de cardinal $5,7,35$ respectivement.
    On a donc $5n_5+7n_7+35n_{35}=53$ (partition de $E$ en orbites)
    Alors $2n_7=3\mod 5$ donne $n_7=4\mod 5$ et $0\leq n_7\leq \lfloor\frac{53}7\rfloor=7$ donne $n_7=4$
    $5n_5=4\mod 7$ donne $n_5=5\mod7$ et $0\leq n_5\leq \lfloor\frac{53}5\rfloor=10$ donne $n_5=5$.
    Vérification.
    $5\times 5+4\times7=53$. Gagné.
    Alain
  • Merci beaucoup, AD.
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