Z n'est pas finiment axiomatisable

Bonjour à tous,
Tout est dans le titre. J'appelle Z la théorie ZF "amputée" du schéma de remplacement, i.e. aussi la théorie initiale de Zermelo avec axiome de fondation (et avec ou sans AC, cela n'a pas une grande importance).
Je sais démontrer que ZF n'est pas finiment axiomatisable : c'est une conséquence quasi-immédiate du schéma de réflexion et du second théorème d'incomplétude.
Je sais aussi démontrer que ZF n'est pas finiment axiomatisable au-dessus de Z, i.e. qu'on ne peut pas "récupérer" ZF en ajoutant un nombre fini d'instances du schéma de remplacement à la théorie Z : c'est plus difficile, mais j'y suis arrivé grâce à l'aide précieuse de @Maxtimax, que je salue au passage s'il lui arrive encore de traîner dans le quartier.
Mais comment prouver que Z toute seule n'est pas finiment axiomatisable ? Ce ne doit pas être sorcier mais ce qui m'embête c'est que là on ne peut plus utiliser le schéma de réflexion. A mon avis cela a à voir avec le fait que Z démontre la consistance de l'arithmétique de Peano au second ordre, mais je ne vois pas comment formaliser la chose.
Si quelqu'un a une idée...
Merci d'avance
Martial

Réponses

  • La théorie des topos avec un objet des entiers naturels (laquelle est finiment axiomatisable) ne démontre-t-elle pas la consistance de l'arithmétique de Peano au second ordre?
  • @Alesha : merci mais désolé, je ne connais strictement rien à la théorie des topos. (Oui je sais, je ne suis pas sérieux, comme garçon).
  • Bonjour Martial,
    Est-ce qu'il ne suffit pas. (Je marche sur des œufs) de dire qu'avec un nombre fini d'axiomes de compréhension, on ne peut garantir qu'un nombre fini de sous-ensembles à chaque ensemble ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • @Médiat_Suprème : L'idée est bonne. Je vais réfléchir à la question.
    P.S. : Je ne savais pas que cela faisait tousser de respirer de la compote, je vais faire l'expérience...
  • Kaamelot, je suis fan absolu de la famille Astier
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Maxtimax
    Modifié (July 2023)
    Pas besoin de théorie des topos pour se convaincre que la cohérence relative ne suffit pas: la théorie contradictoire prouve la cohérence de Peano et est pourtant finiment axiomatisable :-D 
    En moins idiot, la théorie des classes de NBG est finiment axiomatisable et prouve la cohérence de Peano (et est conservative au dessus de ZFC). 

    Le théorème 8 ici est une référence pour le fait que Z n'est pas finiment axiomatisable. L'auteur indique cependant que le résultat était connu avant, mais la "référence" donnée n'est pas très précise "work of Wang and others" ("in the fifties") . En particulier, pas évident de savoir s'il y a une preuve plus simple que celle qui est présentée (et qui a l'air un peu compliquée...) 

    (Salut Martial ! )
  • Martial
    Modifié (July 2023)
    Salut Max ! Merci pour la référence. En fait j'avais essayé de lire ce papier, mais j'avais fini par me perdre dans ce fouillis indescriptible. A mes moments perdus je vais regarder si par hasard une preuve plus simple ne figure pas dans le livre de Hao Wang : "Logic, Computers and Sets". Mais comme ce livre ne comporte pas d'index, ça risque d'être coton.
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