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sansan123
Modifié (July 2023) dans Algèbre
Bonjour à tous et merci de me lire. En fait j'essaye de traiter des exercices de mathématiques MPSI4.
Je suis au chapitre « arithmétique » et je suis tombée sur un exercice du concours de l'ENS de Lyon que voici.
Déterminer toutes les applications $N : \Q \to \R^+$ telles que
(i $)N(x)=0\Leftrightarrow x=0$ ;
(ii) $\forall(x,y)\in\Q^2,\ N(x+y)⩽N(x)+N(y)$ ;
(iii) $\forall(x,y) \in\Q^2,\ N(xy) = N(x)N(y)$ ;
(iv) $\exists n∈\N,\ N(n)>1 $.
Et dans le livre en question il y avait les indications suivantes.
Justifier que les $N(p)$, pour $p$ premier, déterminent entièrement $N$. Montrer que si $N$ convient, $x \mapsto b^xN(x)$ aussi, si $0 < b < 1$. Montrer qu'on ne peut pas avoir $N(p) < 1 < N(q)$ pour deux entiers premiers distincts : on pourra pour cela exprimer une certaine quantité tendant vers l'infini en fonction de puissances de $p$. En déduire que $N (p) = N (q)$.
Réponse : $x\mapsto x^a$ avec $0<a\leq1$.
J'ai deux soucis avec cet exercice
1- Les indications.
Pour commencer je n'ai pas eu de problèmes à montrer que les $N(p)$ pour $p$ premier déterminent $N$ j'ai juste utilisé le fait que si $n$ est dans $\N$ tout entier peut se décomposer en facteurs premiers et la propriété de multiplicative de $N$ nous permet d'avoir $N(n)$ quand on a $N(p_i)$ avec les $p_i$ les facteurs dans $n$. Si $n$ est dans $\Q$, $\ n$ peut s'écrire comme $p/q$. J'ai juste montré que $N(1/q)=1/N(q)$ puis tout sortait simplement.
La deuxième partie de l'indication avec la fonction $x\mapsto b^x N(x) $, je ne suis pas très d'accord à mon humble avis, il s'agit de $x^b N(x)$. Qu'en dites-vous svp ?
Concernant $N(p)<1<N(p)$, je n'ai vraiment rien trouvé depuis deux jours j'y réfléchis si vous pouviez m'aider svp ?
Et enfin la déduction $N(p)=N(q)$, déjà je n'ai pas pu la faire mais je pense que ça ne vérifie pas le $N$ de la réponse car c'est comme dire que puisque $2$ et $3$ sont premiers, alors $2^a=3^a$ pour tout $a$ pris dans $]0,1]$ donc à mon humble avis ce n'était pas la déduction à faire.
2- L'intuition derrière l'exercice.
Déjà même en démontrant les indications je ne sais pas en quoi je pourrais conclure que la fonction en question est la fonction puissance.
Ensuite mon souci est qu'est-ce qui pourrait nous amener à penser à toutes ces indications. C'est-à-dire qu'elle est l'intuition derrière tout ça svp ?
Si on donne un tel exercice, qu'est-ce qui peut m'amener à remarquer que les $x^bN(x)$ sont solutions si $N$ l'est ?
J'ai essayé de lire quelques cours sur les équations fonctionnelles mais le cas de cet exercice en particulier me dérange.
De plus, je pense que la solution devrait avoir la valeur absolue ie valeur absolue de la fonction puissance car l'application est définie vers $\R^+$.
J'ai certes des problèmes avec les indications mais aussi j'aimerais savoir si on aurait pas pu procéder autrement et de façon plus intuitive et relativement plus simple.
Merci beaucoup de l'aide.
[Pout $\LaTeX$, encadrer toutes les expressions mathématiques par des $\$$. :) AD]
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Réponses

  • sansan123
    Modifié (July 2023)
    Désolée  chaque fois que j'ai écrit bxN(x) je voulais plutôt écrire (b^x)N(x) et chaque fois que ça a été xbN(x) je voulais écrire (x^b)N(x)
    et puis à un moment je souhaitais écrire 2^a=3^a
  • Tu peux éditer ton message ( la roue crantée en haut à droite du message).
    Et tu peux mettre du latex : 2^a , si tu mets des symboles dollar autour, ça donne $2^a$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • d'accord je le fais
  • Bibix
    Modifié (July 2023)
    Pour tout $n \in \N$ et $p$ premier, on a $n = \sum_{k = 0}^{K_n} a_k p^k$ avec $a_k \leq p-1$ et $K_n \in \N$. Si $N(p) < 1$, alors
    \begin{align*}
    N(n) &\leq \sum_{k = 0}^{K_n} N(a_k p^k) = \sum_{k = 0}^{K_n} N(a_k) N(p)^k \\
    &\leq \max(N(0), N(1), \dots, N(p-1)) \sum_{k = 0}^{+\infty} N(p)^k \\
    &\leq \dfrac{\max(N(0), N(1), \dots, N(p-1))}{1 - N(p)}.
    \end{align*} donc $N$ est bornée sur les entiers. Or on a $n \in \N$ tel que $N(n) > 1$ donc $N(n^m) = N(n)^m \to +\infty$ qd $m \to +\infty$. On ne peut donc pas avoir $N(p) < 1$.
  • sansan123
    Modifié (July 2023)
    Je pense qu'il s'agissait de montrer cela pour deux entiers premiers distincts $N(p) < 1 < N(q)$.
    J'ai compris votre démarche mais l'hypothèse de $p$ premier a-t-elle été utilisée ? Parce que j'imagine que cette décomposition de $n$ se fait dans la base $p$, mais est-ce que la décomposition de tout nombre ne peut se faire que dans des bases "premières" ?
    Puis ils demandent de conclure que $N(p)=N(q)$ pour deux entiers premiers mais je pense que  ça contredit les fonctions solutions.
  • Bibix
    Modifié (July 2023)
    Non, $p$ n'est pas nécessairement premier mais ça suffit car les premiers déterminent l'application. Par contre, la conclusion que tu retranscris ici est mauvaise. Moi, si je devais résoudre ce problème, je ferais ça : 
    _ $(N(x_n))_n$ est une suite de Cauchy pour toute suite de rationnels de Cauchy $(x_n)_n$ car $N$ vérifie l'inégalité triangulaire.
    _ On peut donc prolonger par continuité $N$ sur $\mathbb{R}$ ce qui donne $\tilde{N} : \R \to \R_+$.
    _ On a alors $\tilde{N}(2^{\frac{u}{v}}) = \tilde{N}(2)^{\frac{u}{v}}$ pour tout $u \in \Z, v \in \N^*$. On obtient par passage à la limite $\tilde{N}(2^x) = \tilde{N}(2)^x$ pour tout $x \in \R$, i.e. $\tilde{N}(x) = x^a$ pour tout $x \geq 0$ avec $a = \log_2(\tilde{N}(2)) \geq 0$.
    _ Or $N(1+1) = (1+1)^a \leq 1^a + 1^a = 2$ donc $a \leq 1$. Si $a = 0$, alors $N(x) = 1$ ce qui contredit la dernière condition. On a donc $N(x) = x^a$ avec $0 < a \leq 1$.
    Il manque la synthèse évidente et ça marche.
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