Système d'équations de Pell-Fermat

uvdose

Je cherche à résoudre le système diophantien $(\mathscr{S})$ suivant : 
$$\left\{\begin{array}{rcl}2x^2+1&=&y^2\\20x^2+1&=&z^2,\end{array}\right.$$
où $x$, $y$ et $z$ sont des entiers naturels.
Il me semble que les seules solutions sont $(x,y,z)=(0,1,1)$ et $(x,y,z)=(2,3,9)$, mais je ne suis pas certain de pouvoir le prouver.

J'ai posé la question sur MSE (en commentaire) et un participant m'a indiqué la démarche suivante :  
- si $(x,y,z)$ est une solution de $\mathscr{S}$, alors $18x^2+y^2=z^2$ $(\mathscr{E})$,
- on peut trouver une paramétrisation de l'ensemble des solutions de $(\mathscr{E})$,
- en reportant l'expression obtenue pour $x$, $y$ et $z$ dans l'une des deux équations de $(\mathscr{S})$, on tombe sur une équation de Thue pour laquelle des méthodes de résolution existent (elles sont par exemple implémentées dans PARI/GP).

Mais voilà, je ne suis pas vraiment expert en ces choses... 

Il me semble que j'ai trouvé une paramétrisation des solutions de  $(\mathscr{E})$ :
$$\left\{\begin{array}{rcl}x&=&2t(-18u^2+v^2-3uv)\\y&=&3t(-18u^2+v^2+24uv)\\z&=&9t(18u^2+v^2),\end{array}\right.$$
et qu'en remplaçant $x$ et $z$ dans la seconde équation de $(\mathscr{S})$ par les expressions précédentes (avec $t=1$), on tombe sur l'équation de Thue suivante :
$$324u^4-8640u^3v+5076u^2v^2+480uv^3+v^4=1. \tag{$\mathscr{T}$}$$
Mais comment diable résout-on cette équation ? Que faut-il saisir dans PARI/GP (ou dans autre chose) pour la résoudre ?
Merci pour votre aide !

Joaopa

? S=thueinit(324*x^4-8640*x^3+5076*x^2+480*x+1);
? thue(S,1)
%5 = [[0, -1], [0, 1]]
? bnfinit(324*x^4-8640*x^3+5076*x^2+480*x+1).no
 *** bnfinit: Warning: nonmonic polynomial in bnfinit, using polredbest.

%6 = 1

3 secondes de google a donné la solution
https://pari.math.u-bordeaux.fr/dochtml/html/Polynomials_and_power_series.html

JFS

Bonjour,
solution (0,1,1) et non pas (0,0,1)

uvdose

Corrigé.

Math Coss

Cf. https://skalatan.de/archive/pariguide/doc/Polynomials_and_power_series.html#thue. Cela devrait donner ce qui suit.

t = thueinit(324*x^4-8640*x^3+5076*x^2+480*x+1)
%1 = # plein de choses à peu près indéchiffrables...
thue(t,1)
%2 = [[0, -1], [0, 1]]

Edit : Tiens, je suis à la bourre !

uvdose

Merci Joaopa et Math Coss.
@Joaopa À quoi correspond : bnfinit(324*x^4-8640*x^3+5076*x^2+480*x+1).no et le warning ? J'ai essayé de lire la documentation de PARI/GP mais je ne comprends pas tout.